Уравнение эйлера второго порядка

В более общем виде уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
.

Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
.
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть ki – кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть ki – кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень ki через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
.
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .

Примеры

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Если неоднородная часть имеет определенный вид, то получить общее решение проще, найдя частное решение неоднородного уравнения. К такому классу относятся уравнения вида:
(4)
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2013

Сначала находим общее решение однородного уравнения Эйлера;

Читайте также:  Допуски напряжений блока питания компьютера

Используя метод неопределенных коэффициентов или метод вариации постоянных , находим частное решение, зависящее от правой части заданного неоднородного уравнения;

Общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения (шаг (1)) и частного решения неоднородного уравнения (шаг (2)).

Сделаем подстановку (x = .) Поскольку [y” = >left( <frac<<y>><>> – frac<><

>>
ight),] то дифференциальное уравнение принимает вид: [ <4cancel<2t>>cancel>left( <frac<<y>><>> – frac<

><

>>
ight) + y = 0,>;; <Rightarrow 4frac<<y>><>> – 4frac<

><

> + y = 0.> ] Вычислим корни соответствующего характеристического уравнения: [ <4- 4k + 1 = 0,>;; <Rightarrow D = 16 – 16 = 0,>;; <Rightarrow k = frac<4><<2 cdot 4>> = frac<1><2>.> ] Уравнение имеет один корень второго порядка. Тогда общее решение для функции (yleft( t
ight)) будет определяться выражением [yleft( t
ight) = left( <+ t>
ight)<2>
ormalsize>>.] Решение для исходной функции (yleft( x
ight)) можно записать в виде: [
+ ln x>
ight)><2>
ormalsize>> > = <left( <
+ ln x>
ight)<1><2>
ormalsize>> > = <left( <
+ ln x>
ight)sqrt x ,> ] где (
,) () − произвольные действительные числа.

Для решения данного уравнения воспользуемся вторым способом, т.е. будем искать решение в форме (y = .) Тогда [y’ = k>,;;y” = kleft(
ight)
>.] Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем [ <kleft(
ight)
> – xk> – 8 = 0,>;; <Rightarrow kleft(
ight) – k – 8 = 0,>;; <Rightarrow left[

ight) – k – 8>
ight] = 0.> ] Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни: [

ight) – k – 8 = 0,>;; <Rightarrow – 2k – 9 = 0,>;; <Rightarrow D = 4 + 32 = 36,>;; <Rightarrow > = frac<<2 pm 6>> <2>= 4, – 2.> ] Следовательно, общее решение для промежуточной функции (yleft( t
ight)) выражается формулой [yleft( t
ight) = <4t>> + >.] Возвращаясь к переменной (x,) получаем окончательный ответ: [ > + > > = < + > > = < + frac<<>><<>>.> ] Здесь (,) () − произвольные действительные постоянные.

Сначала построим общее решение однородного уравнения: [y” + xy’ + y = 0.] Сделаем подстановку: [ ,;;y’ = >frac<><

>,>;; >left( <frac<<y>><>> – frac<

><

>>
ight).> ] В результате однородное уравнение примет вид: [ <cancel<2t>>cancel>left( <frac<<y>><>> – frac<

><

>>
ight) + cancelcancel>frac<

><

> + y = 0,>;; <Rightarrow frac<<y>><>> – cancel<frac<

><

>> + cancel<frac<

><

>> + y = 0,>;; <Rightarrow frac<<y>><>> + y = 0.> ] Решим характеристическое уравнение: [ + 1 = 0,;; Rightarrow > = pm i.] Как видно, корни характеристического уравнения мнимые. Поэтому общее решение однородного уравнения записывается в виде [left( t
ight) = cos t + sin t,] где () и () − действительные постоянные.
Читайте также:  Госуслуги ошибка 500 что это

Теперь определим частное решение неоднородного уравнения [frac<<y>><>> + y = 5<2t>>.] Принимая во внимание структуру правой части, будеи искать частное решение в виде (left( t
ight) = a
<2t>>,) где (a) − некоторый постоянный коэффициент. Тогда [frac<>><

> = 2a

<2t>>,;;frac<<>><>> = 4a<2t>>.] Подставим данную функцию вместе с ее производными в уравнение и найдем коэффициент (a:) [ <4a<2t>> + a<2t>> = 5<2t>>,>;; <Rightarrow 5a<2t>> = 5<2t>>,>;; <Rightarrow a = 1.>] Итак, частное решение неоднородного уравнения определяется выражением [left( t
ight) =
<2t>>.] Теперь можно записать общее решение исходного неоднородного уравнения: [ left( t
ight) + left( t
ight) > = <cos t + sin t +
<2t>>.> ] Возвращаясь обратно к переменной (x,) получаем [yleft( x
ight) = cos left( <ln x>
ight) + sin left( <ln x>
ight) + >.] Поскольку (> = >> = ,) окончательный ответ записывается в виде [yleft( x
ight) =
cos left( <ln x>
ight) + sin left( <ln x>
ight) + .]

Сначала найдем решение однородного уравнения: [y” – 2xy’ + 2y = 0.] Используя подстановку (x = ,) можно преобразовать последнее уравнение в уравнение с постоянными коэффициентами: [frac<<y>><>> – 3frac<><

> + 2y = 0.] Вычислим корни характеристического уравнения и запишем общее решение (left( t
ight)) однородного дифференциального уравнения: [ <- 3k + 2 = 0,>;; <Rightarrow D = 9 – 4 cdot 2 = 1,>;; <Rightarrow > = frac<<3 pm 1>> <2>= 2,1.> ] Следовательно, [
left( t
ight) = <2t>> + .] Теперь рассмотрим неоднородное уравнение, которое можно записать через переменную (t) в виде [ <frac<<y>><>> – 3frac<

><

> + 2y = 6<2t>> + 4ln left( <>
ight),>;; <Rightarrow frac<<y>><>> – 3frac<

><

> + 2y = 6<2t>> + 4t.> ] В показателе экспоненциальной функции в правой части содержится коэффициент (2,) который совпадает с одним из корней характеристического уравнения. Поэтому будем искать частное решение в форме [left( t
ight) = at
<2t>> + bt + c,] где (a, b) и (c) − некоторые (пока еще) неизвестные числа.

Первая и вторая производные данной функции будут равны [frac<>><

> = a<2t>> + 2at<2t>> + b,] [ <frac<<

>><>> = 2a<2t>> + 2a<2t>> + 4at<2t>> > = <4a<2t>> + 4at<2t>>.> ] Подставим это в неоднородное уравнение: [ <4a<2t>> + 4at<2t>> > – <3left( <2t>> + 2at<2t>> + b>
ight) > + <2left( <2t>> + bt + c>
ight) > = <6<2t>> + 4t,> ] [ <Rightarrow 4a<2t>> + cancel<4at<2t>>> – 3a<2t>> > – <cancel<6at<2t>>> – 3b > + <cancel<2at<2t>>> + 2bt + 2c > = <6<2t>> + 4t,> ] Последнее равенство является тождественным, то есть оно справедливо для любых значений (t.) Приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями в левой и правой части, получаем: [ <left< egin a = 6\ 2b = 4\ – 3b + 2c = 0 end
ight.,>;; <Rightarrow left< egin
a = 6\ b = 2\ c = 3 end
ight..> ] Таким образом, частное решение неоднородного уравнения описывается выражением [
left( t
ight) = 6t<2t>> + 2t + 3.] Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения Эйлера: [ left( t
ight) +
left( t
ight) > = <<2t>> + + 6t<2t>> + 2t + 3.> ] Поскольку (t = ln x,) то окончательный ответ записывается как [yleft( x
ight) =
+ x + 6ln x + 2ln x + 3,] где (,) () − произвольные действительные числа.

Читайте также:  Программа по принудительному удалению программ бесплатно

Численное решение линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Рассматривается линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка вида

Для того, чтобы применить к нему численные методы Эйлера и Рунге-Кутта, следует свести это уравнение к системе 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка

Упростим : b=b/a, c=c/a.

Вводя новую функцию x(t), получаем :

К полученной системе применяем формулу Эйлера :

Затем применяется метод Рунге-Кутта. Расчет ведется по формулам :

В случае нашей системы формулы выглядят следующим образом :

Ниже приведен пример решения уравнения 3 y”+2y’+y=0 на отрезке t=[0..1] с шагом 0,01 в среде Maple ( текст программы)

Задаются коэффициенты дифференциального уравнения

Задание начальных условий

Задание правой границы отрезка

Уменьшение шага повысит точность вычислений

Расчет числа шагов

Вывод дифференциального уравнения

ur := a * diff ( y ( t ), t $2)+ b * diff ( y ( t ), t )+ c * y ( t )=0;

Вывод начальных условий

usl := y ( t 0)= y 0; usl 2:= D ( y )( t 0)= yy 0;

Перерасчет коэффициентов к виду y "+ by ‘+ cy =0

b := b / a : c := c / a :

Применяется метод Эйлера

print (`Метод Эйлера с шагом h `= h );

for i from 1 to n do

В цикле ведется расчет по формулам Эйлера

Если в следующей строке изменить ":" на ";" будут выводится результаты расчета на каждом шаге

Применяется метод Рунге-Кутта 3 порядка

print (`Метод Рунге-Кутта 3 порядка с шагом h `= h );

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *