Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору

Пусть дана некоторая точка M и ненулевой вектор n. Через точку M можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М – произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow<0>M>) перпендикулярен вектору n. Как известно, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору n, может быть записано в виде

Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть точка M и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:

Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор (overrightarrow<0>M>) имеет координаты х – х, у – у и z – z, а уравнение (1) в координатах записывается следующим образом:

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х; у; z) перпендикулярно вектору (А; В; С).

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; 2; 6).

В данном случае х = -3, у = 4, z = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение

3адачa 2. Даны точки M1 (2; -1; 3) и M2(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М2 перпендикулярно вектору (overrightarrow<1>M_2>).

За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = (overrightarrow<1>M_2>) = (2; 6; -3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М = М2(4; 5; 0) в уравнение (2) получим

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А1<-5; 2; 7), А2(5; 0; 6), А3(0; -1; 2) проведена медиана А1М. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно медиане А1М.

Читайте также:  Во что смотришься в то и обращаешься

За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = (overrightarrow<1>M_0>). Определим его координаты. Точка М – середина отрезка А2А3, поэтому, если (х; у; z) – ее координаты, то

Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны

A = 5 /2 + 5 = 15 /2, В = – 1 /2 – 2 = – 5 /2, С = 4 – 7 = – 3.

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения

. (1)

Построить уравнение плоскости α, проходящей через точку M и перпендинулярной прямой L.

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

A(xx)+B(yy)+C(zz)=0. (2)

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку прямая L и плоскость α перпендикулярны друг другу, следовательно нормальный вектор плоскостти и направляющий вектор прямой должны быть коллинеарны (Рис.1). Тогда вместо координат нормального вектора плоскости нужно подставить координаты направляющего вектора прямой L. Получим следующее уравнение плоскости:

m(xx)+p(yy)+l(zz)=0. (3)

Упростим уравнение (3):

mx+py+lz+D=0, (4)

Таким образом уравнение (4) определяет плоскость, проходящей через точку M(x, y, z) и перпендикулярной прямой (1).

Ответ. Уравнение плоскости прпоходящей через точку M(x, y, z) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид (4).

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой L:

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M(x, y, z) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид: :

Читайте также:  Регулятор хода для бесколлекторного двигателя
q=<m, p, l>=

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:

m(xx)+p(yy)+l(zz)=0. (8)

Подставляя координаты точки M и направляющего вектора q в (8), получим:

(9)

Упростим уравнение (9):

2x+5y+4z−9=0. (10)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой (7) имеет вид (10).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой L, заданной параметрическим уравнением:

(11)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (11) к каноническому виду:

(11′)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M(x, y, z) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

A(xx)+B(yy)+C(zz)=0. (12)

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

q=<m, p, l>=

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (12) примет следующий вид:

m(xx)+p(yy)+l(zz)=0. (13)

Подставляя координаты точки M и направляющего вектора q в (13), получим:

Упростим уравнение (13):

−5x+3y+11z+77=0. (14)

Ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой (11) имеет вид (14).

В этой статье мы поговорим о том, как составляется уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Сначала разберем принцип нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, после чего подробно разберем решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка , прямая a и требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a .

Сначала вспомним один важный факт.

На уроках геометрии в средней школе доказывается теорема: через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой (доказательство этой теоремы Вы можете найти в учебнике геометрии за 10 – 11 классы, указанном в списке литературы в конце статьи).

Читайте также:  Как настроить vpn на mac

Теперь покажем, как находится уравнение этой единственной плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Мы можем написать общее уравнение плоскости, если нам известны координаты точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормального вектора плоскости.

В условии задачи нам даны координаты x1 , y1 , z1 точки М1 , через которую проходит плоскость . Тогда, если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то мы сможем составить требуемое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Любой направляющий вектор прямой a представляет собой нормальный вектор плоскости , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной к плоскости . Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскости сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a .

В свою очередь, координаты направляющего вектора прямой a могут определяться различными способами, зависящими от способа задания прямой a в условии задачи. Например, если прямую a в прямоугольной системе координат задают канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , то направляющий вектор этой прямой имеет координаты ax , ay и az ; если же прямая a проходит через две точки и , то координаты ее направляющего вектора определяются как .

Итак, получаем алгоритм для нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a :

  • находим координаты направляющего вектора прямой a ();
  • принимаем координаты направляющего вектора прямой a как соответствующие координаты нормального вектора плоскости (, где );
  • записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , в виде – это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Из найденного общего уравнения плоскости вида можно, при необходимости, получить уравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Рассмотрим решения нескольких примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *