Формулы кардано корней кубического уравнения

Сведение кубического уравнения к приведенному виду

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) ,
где . Разделим его на :
(2) ,
где , , .
Далее считаем, что , и – есть действительные числа.

Приведем уравнение (2) к более простому виду. Для этого сделаем подстановку
.
;
;
.
Приравняем коэффициент при к нулю. Для этого положим
:
;
;
.
Получаем уравнение приведенного вида:
(3) ,
где
(4) ; .

Вывод формулы Кардано

Решаем уравнение (3). Делаем подстановку
(5) :
;
;
;
.
Чтобы это уравнение удовлетворялось, положим
(6) ;
(7) .

Решаем квадратное уравнение.
(8) .
Возьмем верхний знак “+”:
,
где мы ввели обозначение
.
Из (6) имеем:
.

Итак, мы нашли решение приведенного уравнения в следующем виде:
(5) ;
(9) ;
(10) ;
(7) ;
(11) .
Такое решение называется формулой Кардано.

Если мы, при выборе знака квадратного корня в (8), возьмем нижний знак, то и поменяются местами и мы не получим ничего нового. Величины и равны кубическим корням, поэтому они имеют по три значения. Из всех возможных пар и нужно выбрать такие, которые удовлетворяют уравнению (7).

Итак, алгоритм решения приведенного кубического уравнения
(3)
следующий.
1) Вначале мы определяем любое значение квадратного корня .
2) Вычисляем три значения кубического корня .
3) Используя формулу (7), для каждого значения , вычисляем значение :
.
В результате получаем три пары величин и .
4) Для каждой пары величин и , по формуле (5) находим значения корней приведенного уравнения (3).
5) Рассчитываем значения корней исходного уравнения (1) по формуле
.
Таким способом мы получаем значения трех корней исходного уравнения. При два или три корня являются кратными (равными).

На шаге 3) данного алгоритма можно поступить по другому. Мы можем вычислить три значения величины по формуле (10). И далее составить три пары корней и так, чтобы для каждой пары выполнялось соотношение
(7) .

Случай Q ≥ 0

Рассмотрим случай . При этом и являются действительными числами. Введем обозначения. Пусть и обозначают действительные значения кубических корней.

Найдем остальные значения корней и . Запишем и в следующем виде:
; ,
где – есть целое число;
– мнимая единица, .
Тогда
.
Присваивая значения , получаем три корня:
, ;
, ;
, .
Точно также получаем три корня :
;
;
.

Теперь группируем и в пары, чтобы, для каждой пары выполнялось соотношение
(7) .
Поскольку , то
.
Тогда
.
Отсюда получаем первую пару: .
Далее замечаем, что
.
Поэтому
; .
Тогда и являются еще двумя парами.

Теперь получаем три корня приведенного уравнения:
;
;
.
Их также можно записать в следующем виде:
(12) ; .
Эти формулы называются формулой Кардано.

При , . Два корня являются кратными:
; .
При все три корня являются кратными:
.

Случай Q . То есть и могут быть комплексными. Тогда для и можно выбрать любые значения кубических корней, между которыми выполняется соотношение
.

Формула Кардано для решения кубического уравнения

Итак, мы установили, что корни приведенного кубического уравнения

можно найти по формуле Кардано:
, ,
где
; ; ;
.

Однако, при , формула Виета являются более удобной.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-09-2016

Схема метода Кардано

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Формула Кардано

Пример решения кубического уравнения

Схема метода Кардано

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )

ax 3 + a1x 2 + + a2x + a3= 0,

(1)

где a, a₁, a₂, a₃ – произвольные вещественные числа,

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a . Тогда оно примет вид

x 3 + ax 2 + bx + c = 0,

(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 3 + py + q= 0,

(5)

где p, q – вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где t – новая переменная.

то выполнено равенство:

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :

(8)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

В развернутой форме эти решения записываются так:

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

С другой стороны,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано» .

Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

Пример . Решить уравнение

x 3 – 6x 2 – 6x – 2 = 0.

(13)

Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

x = y + 2.

(14)

Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y 3 – 18y – 30 = 0.

(15)

Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

то уравнение (15) примет вид

(17)

Далее из (17) получаем:

Отсюда по формуле (16) получаем:

Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.

Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 – B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = – B A 3 , а квадратный трехчлен – x 2 – B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 – 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 – 3 = 0 x 3 – 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 – 3 2 = 0 x – 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения – A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 – x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B – A + A

Корень уравнения равен х = – 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B – A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 – 8 x 2 – 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 – 8 x 2 – 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 – 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 – x + 1 – 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 – 5 x + 5 – 8 x = = x + 1 5 x 2 – 13 x + 5 = 0

Если х = – 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 – 13 x + 5 :

5 x 2 – 13 x + 5 = 0 D = ( – 13 ) 2 – 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 – 69 2 · 5 = 13 10 – 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 – 69 10 x 3 = – 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 – 4 · 3 · 2 = – 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x – x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 – 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 – 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 – 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 – 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( – 1 ) 3 – 11 · ( – 1 ) 2 + 24 · ( – 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = – 1 – это корень. Значит, x = y 2 = – 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

x i	Коэффициенты многочлена
2	– 11	12	9
– 0 . 5	2	– 11 + 2 · ( – 0 . 5 ) = – 12	12 – 12 · ( – 0 . 5 ) = 18	9 + 18 · ( – 0 . 5 ) = 0

2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 – 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 – 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 – 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 – 6 x + 9 = x – 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = – 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что – 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = – B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 – B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = – q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + – q 2 – q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению – p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y – B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = – 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = – 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = – B 1 2 3 + B 2 = – – 11 2 2 3 + 6 = – 121 12 + 6 = – 49 12 q = 2 B 1 3 27 – B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · – 11 2 3 27 – – 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = – q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + – q 2 – – q 2 4 + p 3 27 3 = = – 343 216 + 343 2 4 · 108 2 – 49 3 27 · 12 3 3 + – 343 216 – 343 2 4 · 108 2 – 49 3 27 · 12 3 3 = = – 343 216 3 + – 343 216 3

– 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

– 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда – 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда – 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = – 7 6

Если k = 2 , тогда – 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 – i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим – p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 – i · 3 2 , – 7 6 и – 7 6 , 7 6 1 2 – i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = – 343 216 3 + – 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 – i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = – 343 216 3 + – 343 216 3 = – 7 6 + – 7 6 = – 14 6 y 3 = – 343 216 3 + – 343 216 3 = = 7 6 1 2 – i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 – B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 – B 1 3 = – 14 6 + 11 6 = – 1 2 x 3 = y 3 – B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = – 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.