Формула перевода угла в радианы

Формулы перевода градусов в радианы (градусной меры угла в радианную), длин, площадей и объемов основных геометрических фигур. Вариант для печати.

Во первых, под числом «π» Администрация Сайта понимает величину близкую к:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679… (100 знаков после запятой)

ФОРМУЛЫ ПЕРЕВОДА

  • Перевод радиан в градусы
  • Зная, что углу 2•π соответствует угол 360 градусов:
  • Ad = Ar • 180 / π
  • Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах.
  • Перевод градусов в радианы
    • Зная, что углу 360 градусов соответствует угол 2 • π:
      • Ar = Ad • π / 180
      • Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах.
      • ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ДЛИНЫ

        • Длина окружности
        • L = 2 • π • R
        • Где L — длина окружности, R — радиус окружности.
      • L = π • D
        • Где L — длина окружности, D — диаметр окружности.
        • Длина дуги окружности
          • L = A • R
            • Где L — длина дуги окружности, R — радиус окружности,
            • A — центральный угол, выраженный в радианах.
            • Так, для окружности, A = 2•π (360 градусов), получим L = 2 • π • R
            • ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ПЛОЩАДИ

              • Площадь треугольника.
              • Формула Герона площади треугольника.
              • S = (p • (p-a) • (p-b) • (p-c)) 1/2 .
              • Где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон,
              • p=(a+b+c)/2 — полупериметр.
            • Площадь круга
              • S = π • R 2
                • Где S — площадь круга, R — радиус круга.
                • Площадь сектора
                  • S = (Ld • R)/2 = (A • R 2 )/2
                    • Где S — площадь сектора, R — радиус круга, Ld — длина дуги.
                    • Площадь поверхности шара (сферы)
                      • S = 4 • π • R 2
                        • Где S — площадь поверхности шара, R — радиус шара.
                        • Площадь боковой поверхности цилиндра
                          • S = 2 • π •R • H
                            • Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.
                            • Площадь полной поверхности цилиндра
                              • S = 2 • π • R • H + 2 • π • R 2
                                • Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.
                                • Площадь боковой поверхности конуса
                                  • S = π • R • L
                                    • Где S — площадь боковой поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.
                                    • Площадь полной поверхности конуса
                                      • S = π • R • L + π • R 2
                                        • Где S — площадь полной поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.
                                        • ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ОБЪЕМА

                                          • Объем шара
                                          • V = 4 / 3 • π • R 3
                                          • Где V — объем шара, R — радиус шара.
                                        • Объем цилиндра (прямого, круглого)
                                          • V = π • R 2 ·H
                                          • Где V — объем цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.
                                          • Объем конуса (прямого, круглого)
                                            • V = π • R • L = π • R • H/cos (A/2) = π • R • R/sin (A/2)
                                              • Где V — объем конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса, A — угол при вершине конуса.
                                              • Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

                                                Связь между градусами и радианами

                                                Чтобы установить связь между градусами и радианами, необходимо узнать градусную и радианную меру какого-либо угла. Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла необходимо длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π · r . Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π · r r = π рад.

                                                Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180 ° . Следовательно 180 ° = π рад.

                                                Связь градусов с радианами

                                                Связь между радианами и градусами выражается формулой

                                                Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

                                                Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

                                                Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

                                                1 р а д = 180 π ° – градусная мера угла в 1 радиан равна 180 π .

                                                Также можно выразить один градус в радианах.

                                                1 ° = π 180 р а д

                                                Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

                                                1 р а д = 180 π ° = 180 3 , 1416 ° = 57 , 2956 °

                                                Читайте также:  Windows loader пишет unsupported partition table

                                                Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

                                                1 ° = π 180 р а д = 3 , 1416 180 р а д = 0 , 0175 р а д

                                                Один градус содержит 0,0175 радиана.

                                                Формула перевода радианов в градусы

                                                x р а д = х · 180 π °

                                                Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

                                                Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

                                                Пример 1. Перевод из радианов в градусы

                                                Пусть α = 3 , 2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.

                                                Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

                                                3 , 2 р а д = 3 , 2 · 180 π ° ≈ 3 , 2 · 180 3 , 14 ° ≈ 576 3 , 14 ° ≈ 183 , 4 °

                                                Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.

                                                Формула перевода из градусов в радианы

                                                y ° = y · π 180 р а д

                                                Переведем 47 градусов в радианы.

                                                Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

                                                Внимание!
                                                К этой теме имеются дополнительные
                                                материалы в Особом разделе 555.
                                                Для тех, кто сильно "не очень. "
                                                И для тех, кто "очень даже. " )

                                                В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом "Пи", которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да.

                                                Стандартные задания по тригонометрии с числом "Пи" решаются неплохо. Зрительная память выручает. А вот любое отклонение от шаблона – валит наповал! Чтобы не свалиться – понимать надо. Что мы с успехом сейчас и сделаем. В смысле – всё поймём!

                                                Итак, в чём считаются углы? В школьном курсе тригонометрии используются две меры: градусная мера угла и радианная мера угла. Разберём эти меры. Без этого в тригонометрии – никуда.

                                                Градусная мера угла.

                                                К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили. Да и в жизни частенько встречаемся с фразой "повернул на 180 градусов", например. Градус, короче, штука простая.

                                                Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то.

                                                Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было. Веков 40 назад. И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус – это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее. Попробуйте ответить на этот вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?

                                                Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак. Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно. Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя. В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926. раз.

                                                Это и есть число "Пи". Вот уж лохматое, так лохматое. После запятой – бесконечное число цифр без всякого порядка. Такие числа называются иррациональными. Это, кстати, и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.

                                                Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:

                                                Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в "Пи" раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

                                                Где L – длина окружности, а d – её диаметр.

                                                В геометрии пригодится.

                                                Для общего образования добавлю, что число "Пи" сидит не только в геометрии. В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.

                                                Но вернёмся к градусам. Вы сообразили, почему в Древнем Вавилоне круг разбили на 360 равных частей? А не на 100, к примеру? Нет? Ну ладно. Выскажу версию. У древних вавилонян не спросишь. Для строительства, или, скажем, астрономии, круг удобно делить на равные части. А теперь прикиньте, на какие числа делится нацело 100, и на какие – 360? И в каком варианте этих делителей нацело – больше? Людям такое деление очень удобно. Но.

                                                Как выяснилось много позже Древнего Вавилона, не всем нравятся градусы. Высшей математике они не нравятся. Высшая математика – дама серьёзная, по законам природы устроена. И эта дама заявляет: "Вы сегодня на 360 частей круг разбили, завтра на 100 разобьёте, послезавтра на 245. И что мне делать? Нет уж. " Пришлось послушаться. Природу не обманешь.

                                                Читайте также:  Life is strange 4pda

                                                Пришлось ввести меру угла, не зависящую от человеческих придумок. Знакомьтесь – радиан!

                                                Радианная мера угла.

                                                Что такое радиан? В основе определения радиана – всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L) равна длине радиуса (R). Смотрим картинки.

                                                Будем считать, что этот малюсенький угол имеет величину 1 градус:

                                                Маленький такой угол, почти и нет его. Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан. L = R

                                                Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?

                                                Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.

                                                А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.

                                                Кто угадает, чему равен этот хвостик!?

                                                Да! Этот хвостик – 0,1415926. Здравствуй, число "Пи", мы тебя ещё не забыли!

                                                Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926. радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926. неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

                                                А вот в Интернете число

                                                писать неудобно. Поэтому я в тексте пишу его по имени – "Пи". Не запутаетесь, поди.

                                                Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:

                                                Или точное равенство:

                                                Определим, сколько градусов в одном радиане. Как? Легко! Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула – это тоже уравнение!) на 3,14:

                                                Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.

                                                Но главное умение этой темы – перевод градусов в радианы и обратно.

                                                Если угол задан в радианах с числом "Пи", всё очень просто. Мы знаем, что "Пи" радиан = 180°. Вот и подставляем вместо "Пи" радиан – 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов. Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле "Пи"/2 радиан? Вот и пишем:

                                                Или, более экзотическое выражение:

                                                Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?

                                                Смотрим на формулу и соображаем, что если 180° = "Пи" радиан, то 1° в 180 раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула – это тоже уравнение!) на 180. Представлять "Пи" как 3,14 никакой нужды нет, его всё равно всегда буквой пишут. Получаем, что один градус равен:

                                                Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:

                                                Как видите, в неспешной беседе с лирическими отступлениями выяснилось, что радианы – это очень просто. Да и перевод без проблем. И "Пи" – вполне терпимая штука. Так откуда путаница!?

                                                Вскрою тайну. Дело в том, что в тригонометрических функциях значок градусов – пишется. Всегда. Например, sin35°. Это синус 35 градусов. А значок радианов (рад) – не пишется! Он подразумевается. То ли лень математиков обуяла, то ли ещё что. Но решили не писать. Если внутри синуса – котангенса нет никаких значков, то угол – в радианах! Например, cos3 – это косинус трёх радианов.

                                                Это и приводит к непоняткам. Человек видит "Пи" и считает, что это 180°. Всегда и везде. Это, кстати, срабатывает. До поры до времени, пока примеры – стандартные. Но "Пи" – это число! Число 3,14, а никакие не градусы! Это "Пи" радиан = 180°!

                                                Ещё раз: "Пи" – это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как 5 или 8. Можно, к примеру, сделать примерно "Пи" шагов. Три шага и ещё маленько. Или купить "Пи" килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся.

                                                "Пи" – это число! Что, достал я вас этой фразой? Вы уже всё давно поняли? Ну ладно. Проверим. Скажите-ка, какое число больше?

                                                Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать.

                                                Если вы тоже в ступор впали, вспоминаем заклинание: "Пи" – это число! 3,14. В самом первом синусе четко указано, что угол – в градусах! Стало быть, заменять "Пи" на 180° – нельзя! "Пи" градусов – это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:

                                                Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там – радианы! Вот здесь замена "Пи" на 180° вполне прокатит. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:

                                                Читайте также:  Звуковые ошибки материнской платы

                                                Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что sin60° существенно больше, чем sin1,05°.

                                                Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно 4 градуса и 4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Круг всё и скажет! Конечно, cos4 меньше cos4°.

                                                Потренируемся в обращении с мерами угла.

                                                Переведите эти углы из градусной меры в радианную:

                                                360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

                                                У вас должны получиться такие значения в радианах (в другом порядке!)

                                                Я, между прочим, специально выделил ответы в две строчки. Ну-ка, сообразим, что за углы в первой строчке? Хоть в градусах, хоть в радианах?

                                                Да! Это оси системы координат! Если смотреть по тригонометрическому кругу, то подвижная сторона угла при этих значениях точно попадает на оси. Эти значения нужно знать железно. И угол 0 градусов (0 радиан) я отметил не зря. А то некоторые этот угол никак на круге найти не могут. И, соответственно, в тригонометрических функциях нуля путаются. Другое дело, что положение подвижной стороны в нуле градусов совпадает с положением в 360°, так совпадения на круге – сплошь и рядом.

                                                Во второй строчке – тоже углы специальные. Это 30°, 45° и 60°. И что в них такого специального? Особо – ничего. Единственное отличие этих углов от всех остальных – именно про эти углы вы должны знать всё. И где они располагаются, и какие у этих углов тригонометрические функции. Скажем, значение sin100° вы знать не обязаны. А sin45° – уж будьте любезны! Это обязательные знания, без которых в тригонометрии делать нечего. Но об этом подробнее – в следующем уроке.

                                                А пока продолжим тренировку. Переведите эти углы из радианной меры в градусную:

                                                У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):

                                                210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

                                                Получилось? Тогда можно считать, что перевод градусов в радианы и обратно – уже не ваша проблема.) Но перевод углов – это первый шаг к постижению тригонометрии. Там же ещё с синусами-косинусами работать надо. Да и с тангенсами, котангенсами тоже.

                                                Второй мощный шаг – это умение определять положение любого угла на тригонометрическом круге. И в градусах, и в радианах. Про это самое умение я буду вам во всей тригонометрии занудно намекать, да. ) Если вы всё знаете (или думаете, что всё знаете) про тригонометрический круг, и отсчёт углов на тригонометрическом круге, можете провериться. Решите эти несложные задания:

                                                1. В какую четверть попадают углы:

                                                45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

                                                2. В какую четверть попадают углы:

                                                402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

                                                Тоже без проблем? Ну, смотрите. )

                                                3. Сможете разместить по четвертям углы:

                                                Смогли? Ну вы даёте..)

                                                4. На какие оси попадёт уголок:

                                                5. В какую четверть попадают углы:

                                                И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю. )

                                                6. Определить, в какую четверть попадают углы:

                                                1, 2, 3 и 20 радианов.

                                                Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.

                                                Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.

                                                Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!

                                                Если же вы абсолютно уверены в своих ответах и вас не интересуют простые и безотказные способы работы с радианами – можете не посещать 555. Не настаиваю.)

                                                Хорошее понимание – достаточно веская причина, чтобы двигаться дальше!)

                                                Если Вам нравится этот сайт.

                                                Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

                                                Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)

                                                А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

                                                Добавить комментарий

                                                Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *