2.5. РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЧИСЛА
Развернутая форма записи числа – это запись в виде разрядных слагаемых, записанных с помощью степени соответствующего разряда и основания степени (основание счета).
1. Десятичная система:
Пронумеруем разряды, начиная с младшего:
Теперь запишем выражение:
2. Двоичная система:
Пронумеруем разряды, начиная с младшего:
3. Шестнадцатеричная система:
Пронумеруем разряды, начиная с младшего:
Другие системы счисления записываются аналогично вышеприведенным системам с тем лишь исключением, что основание степени будет соответствовать основанию счета.
Пусть Aq — число в системе с основанием q, аi — цифры данной системы счисления, присутствующие в записи числа A, n + 1 — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа:
Развернутой формой числа А называется запись в виде:
Например, для десятичного числа:
В следующих примерах приводится развернутая форма шестнадцатеричного и двоичного чисел:
В любой системе счисления ее основание записывается как 10.
Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную. Например, перевод в десятичную систему написанных выше чисел производится так:
Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
Перевод целых чисел
Целое десятичное число X требуется перевести в систему с основанием q: X = (anan-1…a1a)q.Нужно найти значащие цифры числа: 
.Представим число в развернутой форме и выполним тождественное преобразование:
Отсюда видно, что a0есть остаток от деления числа X на число q. Выражение в скобках — целое частное от этого деления. Обозначим его за X1. Выполняя аналогичные преобразования, получим:
Следовательно, a1 есть остаток от деления X1 на q. Продолжая деление с остатком, будем получать последовательность цифр искомого числа. Цифра an в этой цепочке делений будет последним частным, меньшим q.
Сформулируем полученное правило: для того чтобы перевести целое десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно:
1) основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить по правилам десятичной арифметики;
2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;
3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
4) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
Пример 1. Перевести число 3710 в двоичную систему.
Пример 2. Перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы:
Десятичную дробь X 4 и число различных четырехразрядных комбинаций из цифр 0 и 1 равно 16: от 0000 до 1111. Поэтому перевод чисел из шестнадцатеричных в двоичные и обратно производится путем формальной перекодировки по двоично-шестнадцатеричной таблице.
Вот пример перевода 32-разрядного двоичного кода в 16-ричную систему:
1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 
BC16BF2A
Если дано шестнадцатеричное представление внутренней информации, то его легко перевести в двоичный код. Преимущество шестнадцатеричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного. Желательно, чтобы ученики запомнили двоично-шестнадцатеричную таблицу. Тогда действительно для них шестнадцатеричное представление станет эквивалентным двоичному.
В двоично-восьмеричной системе каждой восьмеричной цифре соответствует триада двоичных цифр. Эта система позволяет сократить двоичный код в 3 раза.
Основанием позиционной системы счисления называется целое число q, которое возводится в степень.
Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в коде числа.
Базис десятичной системы счисления: …10 n , 10 n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Базис произвольной позиционной системы счисления: …q n , q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m , …
Основание в любой системе изображается как 10, но имеет разное количественное значение. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2.
Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т. д.).
В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.
Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, . q – 1.
Следовательно, основание позиционной системы счисления равно количеству символов (знаков) в ее алфавите. Запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.
Пример 1.Восьмеричная система счисления.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Числа: например, 45023,1528; 751,0018.
Пример 2.Пятеричная система счисления.
Алфавит: 0, 1, 2, 3 и 4.
Пример 3.Шестнадцатеричная система счисления.
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0—9. Для записи остальных символов алфавита (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Числа: например, В5С3,1А216; 355,0FА018.
В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в следующем виде:
Aq = ±(an–1×q n –1 + an–2×q n –2 +…+ a×q 0 + a–1×q –1 + a–2×q –2 +…+ a–m×q –m ), (1) или 
±
.
Здесь А — само число; q — основание системы счисления;
аi — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; п — количество целых разрядов числа; т — количество дробных разрядов числа.
Разложение числа по формуле (1) называется развернутой формой записи. Иначе такую форму записи называют многочленной или степенной.
Пример 1.Десятичное число А10 = 5867,91 по формуле (1) представляется следующим образом:
A10 = 5×10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2 .
Пример 2.Формула (1) для восьмеричной системы счисления имеет вид:
Восьмеричное число A8 = 7064,3 в виде (1) запишется так:
A8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1 .
Пример 3.Пятеричное число А5 = 2430,21 по формуле (1) запишется так:
А5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5′ + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2 .
Вычислив это выражение, можно получить десятичный эквивалент указанного пятеричного числа: 365,4410.
Пример 4.В шестнадцатеричной системе счисления запись 3AF16 означает:
3AF16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 94310.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8546 – 
| 7400 – 
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно