Как вычислить синус любого угла

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30 ° , 45 ° , 60 ° . Если угол выходит за пределы 90 ° , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45 ° , мы сможем определить значение синуса 30 ° , воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° .

Разобьем эти углы на четыре группы: 360 · z градусов ( 2 π · z рад), 90 + 360 · z градусов ( π 2 + 2 π · z рад), 180 + 360 · z градусов ( π + 2 π · z рад) и 270 + 360 · z градусов ( 3 π 2 + 2 π · z рад), где z – любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке:

Для каждой группы соответствуют свои значения.

При повороте из точки A на 360 · z ° , она переходит в себя. А 1 ( 1 , 0 ) . Синус 0 ° , 360 ° , 720 ° равен 0 , а косинус равен 1 . Представим это в виде формулы: sin ( 360 ° · z ) = 0 и cos ( 360 ° · z ) = 1 .

Можно определить, что t g ( 360 ° · z ) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.

Если А ( 1 , 0 ) повернуть на 90 + 360 · z ° , то она перейдет в А 1 ( 0 , 1 ) . По определению: sin ( 90 ° + 360 ° · z ) = 1 и cos ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: c t g ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 1 = 0 .

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А ( 1 , 0 ) на любой из углов 180 + 360 · z ° , она перейдет в A 1 ( − 1 , 0 ) . Мы находим значения функций кроме тангенса.

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270 + 360 · z ° мы попадем в A 1 ( 0 , − 1 ) . Мы находим значения всех функций кроме тангенса.

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° … , точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла − 52 ° . Выполним построения.

Согласно рисунку, абсцисса А 1 ≈ 0 , 62 , а ордината ≈ − 0 , 78 . Соответственно, sin ( – 52 ° ) ≈ – 0 , 78 и cos ( – 52 ° ) ≈ 0 , 62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.

Читайте также:  Sql developer как пользоваться

Выполняем вычисления: t g ( – 52 ° ) ≈ – 0 , 78 0 , 62 ≈ – 1 , 26 и c t g ( – 52 ° ) ≈ 0 , 62 – 0 , 78 ≈ – 0 , 79 .

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α , cos α , t g α , c t g α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1 . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 1 2 – 1 2 2 = 3 2 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30 ° = 1 2 1 = 1 2 и sin 60 ° = 3 2 1 = 3 2 .

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30 ° = 3 2 1 = 3 2 и cos 60 ° = 1 2 1 = 1 2 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.

Вычисляем: t g 30 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 и t g 60 ° = 3 2 1 2 = 3 . Находим котангенс по подобной схеме: с t g 30 ° = 3 2 1 2 = 3 и с t g 60 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45 ° и гипотенузой, которая равна 1 . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 2 2 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: c t g 45 ° = 2 2 2 2 = 1 .

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .

Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 – 1 .

Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 – 1 = 2 + 1 ( 2 – 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 – 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 – 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 – 2 ) = = 2 – 2 2 · ( 2 2 – ( 2 ) 2 ) = 2 – 2 4

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 – 2 4 = 2 – 2 2 . sin π 8 = 2 – 2 2 .

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Читайте также:  Шаблон лист в клетку а4 для word

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = – sin 30 ° = – 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° – 60 ° ) = – cos 60 ° = – 1 2 .

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Найдите значение t g π 8 .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 – cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 – cos π 4 1 + cos π 4 = 1 – 2 2 1 + 2 2 = 2 – 2 2 + 2 = = ( 2 – 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 – 2 ) = ( 2 – 2 ) 2 2 2 – ( 2 ) 2 = ( 2 – 2 ) 2 2

Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 – 2 ) 2 2 = 2 – 2 2 = 2 – 1

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

‘);> //–>
Синус (sin) – это тригонометрическая функция, геометрически представляющая отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

значение x может быть в градусах или радианах

Смотрите также калькулятор перевода градусов в радианы.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления синуса. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить синус любого угла в градусах и радианах.

Вычисление синуса

В этой главе будет показано, как можно вычислять стороны треугольника с точностью до 2% и углы с точностью до 1°, пользуясь одним лишь понятием синуса и не прибегая ни к таблицам, ни к формулам. Такая упрощенная тригонометрия может пригодиться во время загородной прогулки, когда таблиц под рукой нет, а формулы полузабыты. Робинзон на своем острове мог бы успешно пользоваться такой тригонометрией.

Итак, вообразите, что вы еще не проходили тригонометрии или же забыли се без остатка, — состояние, которое иным из читателей, вероятно, нетрудно себе представить. Начнем знакомиться с ней сызнова. Что такое синус острого угла? Это— отношение противолежащего катета к гипотенузе в том треугольнике, который отсекается от угла перпендикуляром к одной из его сто-

Читайте также:  Mac mini 2012 разборка

рон. Например, синус угла а (рис. 87) есть , или ,

или –, или –. Легко видеть, что вследствие по-

добил образовавшихся здесь треугольников все эти отношения равны одно другому.

Чему же равны синусы различных углов от 1 до 90°? Как узнать это, не имея под рукой таблиц? Весьма просто: надо составить таблицу синусов самому. Этим мы сейчас и займемся.

Начнем с тех углов, синусы которых нам известны из геометрии. Это, прежде всего, угол в 90°, синус которого, очевидно, равен 1. Затем угол в 45°, синус которого

легко вычислить по Пифагоровой теореме; он равен ,

т.е. 0,707. Далее нам известен синус 30°; так как катет, лежащий против такого угла, равен половине гипотенузы, то синус 30° = V2.

Рис. 87. Что такое синус острого угла?

Итак, мы знаем синусы (или, как принято обозначать, sin) трех углов

Этого, конечно, недостаточно; необходимо знать синусы и всех промежуточных углов, по крайней мере через каждый градус. Для очень малых углов можно при вычислении синуса вместо отношения катета к гипотевычислить. Например, для угла в 1° дуга следовательно, sin 1° можно принять равным

нузе брать без большой погрешности отношение дуги к

радиусу: из рис. 87 (справа) видно, что отношение –

мало отличается от отношения . Последнее же легко

вычислить. Например, для угла в 1° дуга и,

следовательно, sin 1° можно принять равным

Таким же образом находим:

Но надо убедиться, как далеко можно продолжать эту табличку, не делая большой погрешности. Если бы мы вычислили по такому способу sin 30°, то получили

Рис. 88. Как вычислить sin 15°?

бы 0,524 вместо 0,500; разница была бы уже во второй значащей цифре, и погрешность со- й 24

ставляла бы -, т.е. около

  • 500
  • 5%. Это чересчур грубо даже для нетребовательной походной тригонометрии. Чтобы найти границу, до которой позволительно вести вычисление синусов по указанному приближенному способу, постараемся найти точным приемом sin 15°. Для этого воспользуемся следующим не особенно замысловатым построением (рис. 88). Пусть

sin 15° = Продолжим ВС на равное расстояние до

точки D; соединим А с D, тогда получим два равных треугольника: ADC и АВС, и угол BAD, равный 30°. Опустим на AD перпендикуляр BE; образуется прямоугольный треугольник ВАЕ с углом 30° ( = 0,016. Строго говоря, это,

конечно, не так, но отступление от указанного правила обнаруживается только в третьей значащей цифре, которую мы все равно отбрасываем. Итак, прибавляя последовательно по 0,016 к sin 15°, получим синусы 16°, 17°, 18° ит.д.:

Все эти синусы верны в первых двух десятичных знаках, т.е. с достаточною для наших целей точностью: они отличаются от истинных синусов менее чем на половину единицы последней цифры.

Таким же способом поступают при вычислении углов в промежутках между 30 и 45°. Разность sin 45°- -sin 30° = 0,707 -0,5 = 0,207. Разделив ее на 15, имеем 0,014. Эту величину будем прибавлять последовательно к синусу 30°; тогда получим:

Остается найти синусы острых углов больше 45°. В этом поможет нам Пифагорова теорема. Пусть, например, мы желаем найти sin 53°,

т.е. (рис. 89) отношение -.

Так как угол В = 37°, то синус его мы можем вычислить по предыдущему: он равен 0,5 +

+ 7 • 0,014 = 0,6. С другой стороны, мы знаем, что sin В =

=-. Итак, -= 0,6, откуда

АС = 0,6 • АВ. Зная АС, легко вычислить ВС. Этот отрезок Рис. 89. К вычислению равен синуса угла, большего 45°

Расчет в общем нетруден; надо только уметь вычислять квадратные корни.

Оцените статью
ПК Знаток
Добавить комментарий

Adblock detector