- Как вычислить высоту цилиндра
- Как определить объем цилиндра
- Как найти обьем цилиндра
Для любых фигур существует такой термин, как высота. Высотой обычно называется измеряемая величина какой -либо фигуры в вертикальном положении. У цилиндра высота -это линия, перпендикулярная двум его параллельным основаниям. Также у него есть образующая. Образующая цилиндра -это линия, вращением которой получается цилиндр. Она, в отличие от образующей других фигур, например конуса, совпадает с высотой.
Рассмотрим формулу, с помощью которой можно найти высоту:
V=πR^2*H, где R – радиус основания цилиндра, H – искомая высота.
Если вместо радиуса дан диаметр, данная формула видоизменяется следующим образом:
Соответственно, высота цилиндра равна:
Также высоту можно определить, исходя из диаметра и площади цилиндра. Существует площадь боковой и площадь полной поверхности цилиндра. Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называют боковой поверхностью цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя и площадь его оснований.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по следующей формуле:
Преобразовав данное выражение, найдите высоту:
Если дана площадь полной поверхности цилиндра, вычисляйте высоту несколько иным способом. Площадь полной поверхности цилиндра равна:
Вначале преобразуйте данную формулу как показано ниже:
Затем найдите высоту:
Через цилиндр можно провести прямоугольное сечение. Ширина этого сечения будет совпадать с диаметрами оснований, а длина – с образующими фигуры, которые равны высоте. Если провести через это сечение диагональ, то можно легко заметить, что образуется прямоугольный треугольник. В данном случае диагональ является гипотенузой треугольника, катет -диаметром, а второй катет- высотой и образующей цилиндра. Тогда высоту можно найти по теореме Пифагора:
При вращении прямоугольника вокруг своей стороны получается геометрическое тело, называемое цилиндром. Данная геометрическая фигура ограничена цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями — основаниями цилиндра. Радиусом считается отрезок, соединяющий на плоскости основания точку центральной оси цилиндра с точкой его поверхности.
— Если известен объем и высота цилиндра, можно найти его радиус, как корень квадратный из объема деленного на произведение числа пи на высоту цилиндра:
R = √V / πh
где V — объем цилиндра, h — высота.
Полная площадь поверхности цилиндра складывается из сумм площадей его боковой поверхности и двух оснований:
S (п.п.) = S (б.п.) + 2S (осн.) = 2πrh + πr 2 =πr (2h+r)
Площадь боковой поверхности равняется длине окружности основания умноженной на высоту:
S (б.п.) = hP = 2πrh
— Если известна площадь бок. поверхности S (б.п.) и высота h цилиндра, радиус будет равен частному от деления S (б.п.) на произведение 2пи на высоту:
r = S (б.п.) / 2πh
Площадь двух оснований равна удвоенному произведению пи на радиус в квадрате:
2S (осн.) = πr 2
— Если известна площадь основания и высота, радиус находим как корень квадратный из площади одного основания деленного на пи:
r = √S (осн.) / π
S (п.п.) = S (б.п.) + 2S (осн.) = 2πrh + πr 2
где S (п.п.) — полная площадь поверхности цилиндра; r — радиус; h — высота.
Свойства
Зная радиус цилиндра r, можно сразу найти его диаметр D и периметр окружности P, лежащей в его основании. Диаметр цилиндра является величиной в два раза большей радиуса по значению, а периметр окружности равен произведению диаметра на число π. D=2r P=2πr
Зная радиус и высоту цилиндра можно вычислить все необходимые параметры, такие как, например, площадь поверхности цилиндра или его объем, диагональ цилиндра и так далее. Площадь поверхности цилиндра может быть полной или только боковой, разница заключается в том, что для полной поверхности необходимо прибавить к боковой еще два основания. S_(б.п.)=hP=2πrh S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=2πrh+πr^2=πr(2h+r)
Объем цилиндра равен произведению его площади основания на высоту, то есть произведению числа π на высоту и квадрат радиуса. V=πr^2 h
Чтобы найти диагональ цилиндра, необходимо провести диаметр в основании таким образом, чтобы он соединял диагональ с высотой цилиндра, расположенной на его боковой поверхности. Тогда из образованного прямоугольного треугольника, можно вычислить диагональ цилиндра через радиус и высоту цилиндра по теореме Пифагора. (рис.25.1) d=√(D^2+h^2 )=√(4r^2+h^2 )
В цилиндр можно вписать сферу только тогда, когда диаметр его основания равен его высоте. То же самое касается и сферы описанной вокруг цилиндра. Радиус вписанной в цилиндр сферы равен радиусу окружности, лежащей в основании сферы, или половине высоты, а радиус сферы описанной около цилиндра равен половине его диагонали. (рис.25.2, 25.3) r_1=r=h/2 R=d/2=√(4r^2+h^2 )/2