Интеграл от корня в знаменателе

Содержание
  1. Важное замечание. Корни многозначны!
  2. Дробно-линейная иррациональность
  3. Интегралы от дифференциальных биномов
  4. Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена
  5. 1) Преобразование подынтегральной функции
  6. I тип
  7. II тип
  8. III тип
  9. 2) Тригонометрические и гиперболические подстановки
  10. 3) Подстановки Эйлера
  11. Эллиптические интегралы
  12. Пример
  13. Формула
  14. Примеры решений
  15. В подынтегральном выражении – различные дробно-рациональные функции
  16. Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
  17. Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера
  18. Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
  19. Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева
  20. Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
  21. Частный случай квадратичных иррациональностей
  22. Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Иррациональная функция от переменной – это функция, которая образована из переменной и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения (возведения в целочисленную степень), деления и извлечения корней. Иррациональная функция отличается от рациональной тем, что иррациональная функция содержит операции извлечения корней.

Существует три основных типа иррациональных функций, неопределенные интегралы от которых приводятся к интегралам от рациональных функций. Это интегралы, содержащие корни произвольных целочисленных степеней из дробно-линейной функции (корни могут быть различных степеней, но от одной и той же, дробно-линейной функции); интегралы от дифференциального бинома и интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена.

Важное замечание. Корни многозначны!

При вычислении интегралов, содержащих корни, часто встречаются выражения вида , где – некоторая функция от переменной интегрирования . При этом следует иметь в виду, что . То есть, при t > 0 , |t| = t . При t 0 , |t| = – t . Поэтому, при вычислении подобных интегралов, нужно отдельно рассматривать случаи t > 0 и t 0 . Это можно сделать, если писать знаки или там, где это необходимо. Подразумевая, что верхний знак относится к случаю t > 0 , а нижний – к случаю t 0 . При дальнейшем преобразовании, эти знаки, как правило, взаимно сокращаются.

Возможен и второй подход, при котором подынтегральную функцию и результат интегрирования можно рассматривать как комплексные функции от комплексных переменных. Тогда можно не следить за знаками в подкоренных выражениях. Этот подход применим, если подынтегральная функция является аналитической, то есть дифференцируемой функцией от комплексной переменной. В этом случае и подынтегральная функция и интеграл от нее являются многозначными функциями. Поэтому после интегрирования, при подстановке численных значений, нужно выделить однозначную ветвь (риманову поверхность) подынтегральной функции, и для нее выбрать соответствующую ветвь результата интегрирования.

Далее, по возможности, мы будем применять первый подход, и следить за знаком подкоренных выражений.

Дробно-линейная иррациональность

Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции:
,
где R – рациональная функция, – рациональные числа, m1, n1, . ms, ns – целые числа, α, β, γ, δ – действительные числа.
Такие интегралы сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой:
, где n – общий знаменатель чисел r1, . rs .

Корни могут быть не обязательно от дробно-линейной функции, но и от линейной ( γ = 0 , δ = 1 ), или от переменной интегрирования x ( α = 1 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1 ).

Вот примеры таких интегралов:
, .

Интегралы от дифференциальных биномов

Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p – целое. Подстановка x = t N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
2) Если – целое. Подстановка a x n + b = t M , где M – знаменатель числа p .
3) Если – целое. Подстановка a + b x – n = t M , где M – знаменатель числа p .

Читайте также:  Дерево значений в структуру 1с

В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.

Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Такие интегралы имеют вид:
,
где R – рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1) С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2) Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3) Применить подстановки Эйлера.

Рассмотрим эти методы более подробно.

1) Преобразование подынтегральной функции

Применяя формулу , и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
,
где φ(x), ω(x) – рациональные функции.
Подробнее >>>

Далее выделяя целую часть у ω(x) и раскладывая остаток на простейшие дроби, получаем интегралы трех типов.

I тип

Интеграл вида:
,
где Pn(x) – многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

.
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты Ai .
Подробнее >>>

II тип

Интеграл вида:
,
где Pm(x) – многочлен степени m .

Подстановкой t = ( x – α ) –1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.
Подробнее >>>

III тип

Здесь мы делаем подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
,
,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A1t 2 + C1 ,
v 2 = A1 + C1 t –2 .
Подробнее >>>

2) Тригонометрические и гиперболические подстановки

В некоторых случаях, применение тригонометрических и гиперболических подстановок приводит к более коротким вычислениям. Для их применения, с помощью линейной подстановки, квадратный трехчлен под знаком интеграла нужно привести к сумме или разности квадратов. Затем нужно применить одну из тригонометрических или гиперболических подстановок. Основные подстановки перечислены ниже. Более подробно они рассматриваются на странице:
Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>

Для интегралов вида , a > 0 ,
имеем три основные подстановки:
;
;
;

Для интегралов , a > 0 ,
имеем следующие подстановки:
;
;
;

И, наконец, для интегралов , a > 0 ,
подстановки следующие:
;
;
;

3) Подстановки Эйлера

Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x1 – корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Эллиптические интегралы

В заключении рассмотрим интегралы вида:
,
где R – рациональная функция, . Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.

Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
.

Пример

.
Здесь при x > 0 ( u > 0 ) берем верхний знак ′ + ′. При x 0 ( u 0 ) – нижний ′ – ′.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 02-04-2015 Изменено: 30-01-2018

Формула

Формула на интегрирование иррациональных функций зависит от типа предлагаемого к решению интеграла, в частности от подкоренного выражения:

  1. Линейная функция: $$ sqrt[n], (a
    eq 0) $$ Для решения такого интеграла удобно применить подстановку $ t = sqrt[n] $
  2. Квадратный многочлен: $$ sqrt $$ В этом случае необходимо дополнить многочлен до полного квадрата, а затем по одной из формул таблицы интегрирования решить полученный интеграл вида $ int frac<sqrt<alpha^2 pm x^2>> $
  3. Разность квадратов: $$ sqrt $$ Используем подстановку $ x = asin t $, затем по формуле $ 1-sin^2 t = cos^2 t $ продолжаем нахождение интеграла

Примеры решений

Выполняем замену: $$ t = sqrt[3] $$

Выражаем из замены $ x $: $$ x = t^3-1 $$

Находим $ dx $: $$ dx = 3t^2 dt $$

Подставляем в интеграл полученные данные:

Выполняем разложение подынтегрального выражения на две дроби:

$$ = int 3t^4 dt – int 3t dt = frac<3t^5> <5>- frac<3t^2> <2>+ C = $$

Возвращаем замену назад:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Найти интеграл иррациональной функции: $$ int frac<sqrt[3]> $$
Решение
Ответ
$$ int frac<sqrt[3]> = frac<3><5>sqrt[3]<(x+1)^5>-frac<3><2>sqrt[3] <(x+1)^2>+ C $$
Читайте также:  Сталкер народная солянка где находятся сохранения

Замечаем, что под корнем находится квадратный многочлен. Это значит, что можно выделить под корнем полный квадрат, а затем решить интеграл по таблице интегрирования основных функций.

Выделяем полный квадртат:

$$ x^2-6x+13 = x^2 – 2cdot 3 + 3^2 + 4 = (x – 3)^2 + 4 $$

Подставляем полученное выражение под корень в интеграле:

Пример 2
Выполнить интегрирование иррациональных функций: $$ int frac<sqrt> $$
Решение
Ответ
$$ int frac<sqrt> = ln | x-3 + sqrt| + C $$

Интеграл попадает под третий случай, в котором необходимо выполнить подстановку:

$$ x = sin t; dx = cos t; t = arcsin x $$

Воспользовавшись тригонометрической формулой $ 1 – sin^2 t = cos^2 t $ получаем:

$$ = int sqrt <cos^2 t>cos t = int cos^2 t dt = $$

С учётом формулы понижения степени косинуса $ cos^2 t = frac<1+cos 2t> <2>$ имеем:

Воспользуемся свойством разложения интеграла:

$$ frac<1> <2>int dt + frac<1> <2>int cos 2t dt = frac<1> <2>t + frac<1> <4>sin 2t + C = $$

Выполняем обратную подстановку:

$$ = frac<1> <2>arcsin x + frac<1> <4>sin (2arcsin x) + C $$

Рассмотрим интегралы от иррациональных функций, то есть функций, содержащих переменную (обычно икс) под корнем или, что то же самое – в дробной степени. Интегралы от таких функций с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и могут быть проинтегрированы окончательно.

В подынтегральном выражении – различные дробно-рациональные функции

Разберём интегралы, где в подынтегральном выражении переменная присутствует под корнем. В формально обобщённом виде речь идёт об интегралах вида

,

В примерах мы увидим, что переменная икс, присутствующая под корнем, присутствует там без степени. В примере 3 икс присутствует также в квадрате, но при этом – не по корнем. То есть корни отдельно, степени – отдельно.

В этом случае важное значение имеет наименьшее общее кратное чисел λ , . μ (или общий знаменатель, если эти числа дробные). Обозначим это наименьшее общее кратное (общий знаменатель) через n . Рассматриваемые интегралы от иррациональных функций можно найти, используя следующую подстановку:

Тогда каждая дробная степень "икса" выразится через целую степень "тэ" и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от "тэ".

Пример 1. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Преобразуем все корни икса в степени. Выписываем степени при иксе в подынтегральном выражении – все, которые там находим:

.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей этих чисел: 4.

Поэтому используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Пример 2. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти интеграл от иррациональной функции .

Пример 4. Найти интеграл от иррациональной функции

.

Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера

Если дан интеграл иррациональной функции вида

,

то есть в подынтегральном выражении – корень из квадратного трёхлчена, то можно воспользоваться подстановками Эйлера.

,

В зависимости от характера корней квадратного уравнения используются следующие подстановки Эйлера.

1. Если x 1 , x 2 – действительные числа (не комплексные), то используется подстановка

(первая подстановка Эйлера).

2. Если x 1 , x 2 – комплексные числа и a > 0 , то используется подстановка

(вторая подстановка Эйлера).

3. Если x 1 , x 2 – комплексные числа и c > 0 , то используется подстановка

(третья подстановка Эйлера).

Пример 5. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Используем первую подстановку Эйлера:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, сначала долго занимаемся преобразованием выражений, а затем окончательно находим:

Пример 6. Найти интеграл от иррациональной функции .

Используем вторую подстановку Эйлера:

Интегрируем и получаем:

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти интеграл от иррациональной функции .

(использовать третью подстановку Эйлера).

Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева

,

где m, n, p – рациональные числа (целые или дробные), называются интегралами от дифференциального бинома. В примерах мы увидим, что в подынтегральных выражениях переменная икс присутствует не только под корнем: она под корнем, но ещё и в степени. В этом главное отличие рассматриваемых интегралов от тех, которые были рассмотрены в первом параграфе.

Чтобы найти такие интегралы, используются подстановки Чебышева.

1. Если p – целое число, то используется подстановка

,

где k – наименьшее общее кратное знаменателей m и n.

2. Если – целое число, то используется подстановка

,

где s – знаменатель дроби p .

3. Если – целое число, то используется подстановка

,

где s – знаменатель дроби p .

Русский математик П.Л. Чебышев доказал, что только в перечисленных трёх случаях интеграл от дифференциальных биномов с рациональными показателями степени выражается через элементарные функции.

Пример 8. Найти интеграл от иррациональной функции .

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

Здесь p = -1 (целое число). Чтобы избавиться от степени икса в скобках, сделаем промежуточную подстановку

:

.

Теперь сделаем следующую подстановку:

Подставляем и получаем:

Возвращаемся к переменной z :

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Пример 9. Найти интеграл от иррациональной функции .

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

.

Здесь m = 3 , n = 2 , , (целое число).

Cделаем промежуточную подстановку

:

.

Теперь, чтобы избавиться от дробной степени выражения в скобках, сделаем следующую подстановку:

.

Интегрируем и получаем:

.

Возвращаемся к переменной z :

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Найти интеграл от иррациональной функции .

– целое число.

Частный случай квадратичных иррациональностей

Рассмотрим интеграл от иррациональной функции вида

, (1)

где в знаменателе – квадратный корень из квадратного трёхчлена.

Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы и .

Формула для нахождения первого из них:

(2)

Второй интеграл находится по формуле

(3)

Формулы (2 и (3) можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (1) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид

После подстановки t = xm в первом случае интеграл (1) приводится к интегралу (3), во втором – к интегралу (2).

Пример 11. Найти интеграл от иррациональной функции

Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

Произведя теперь подстановку

причём при интегрировании воспользовались формулой (3). Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 12. Найти интеграл от иррациональной функции

Пример 3
Решить интеграл с иррациональностью: $$ int sqrt <1-x^2>dx $$
Решение
Оцените статью
ПК Знаток
Добавить комментарий

Adblock
detector