Функция y задана различными аналитическими выражениями

УСЛОВИЕ:

Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных облостей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции:

Добавил Lika , просмотры: ☺ 2972 ⌚ 13.03.2015. математика 1k класс

Задача 12. Найти указанные пределы:

Решение. а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента Х=2 приводит к неопределенности вида 0/0. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (х-2). Так как аргумент Х только стремится к своему предельному значению 2, но не совпадает с ним, то множитель (х-2) отличен от нуля при Х®2:

(используем первый замечательный предел).

Искомый предел можно найти иначе. Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной. Так как при Х® Arctg 2X

В) При Х®¥ Основание стремиться к 1, а показатель степени 4х+1 стремиться к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 1¥. Представим основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины:

Положим 2х+3=-4у; при Х®+¥ переменная У® –¥. Выразим показатель степени через новую переменную У. Так как 2х=-4у-3, то 4х+1=-8у-5. Таким образом,

(используем второй замечательный предел).

Г) При Х®2 Основание (3х-5) Стремится к единице, а показатель степени стремиться к бесконечности.

Выразив основание и показатель степени через A, получим

Задача 13. Функция У задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента Х:

Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти предел функции У при приближении аргумента Х к точке разрыва слева и справа; 3) найти скачок функции в точке разрыва.

Решение. Данная функция определена и непрерывна в интервалах (-¥, -2), (-2, 1) и (1, +¥). При Х=-2 и Х=1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке Х=-2:

Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна. Определим односторонние пределы в точке Х=1:

Так как односторонние пределы функции У в точке Х=1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельным значениями. Следовательно, в точке Х=1 скачок функции . График функции показан на рис. 5.

Задача 14. Дана функция

Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента Х1=-2 и Х2=3; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции на отрезке [-6;6].

Решение. Если ищется предел функции У=F(х) при условии, что аргумент Х, стремясь к своему предельному значению A, может принимать только такие значения, которые меньше A, то этот предел, если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке Х=A и условно обозначается так:

Функция У=F(х) непрерывна при Х=A, если выполняются следующие условия: 1) функция У=F(х) определена не только в точке A, но и в некотором интервале, содержащем эту точку;

2) функция У=F(х) имеет при Х®A конечные и равные между собой односторонние пределы;

3) односторонние пределы при Х®A Совпадают со значением функции в точке A, т. е.

Если для данной функции У=F(х) в данной точке Х=A хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке Х=A.

Разрыв функции У=F(х) в точке Х=A называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода.

При Х=-2 данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при Х®-2 слева и справа

Так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным;

Так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным.

Таким образом, при Х=-2 данная функция имеет разрыв второго рода. При Х=3 данная функция непрерывна, так как выполняются все три условия непрерывности функции.

Данная функция является дробно-линейной. Известно, что графиком дробно-линейной функции служит равносторонняя гипербола, асимптоты которой параллельны осям координат (прямоугольных).

Чтобы построить эту гиперболу на заданном отрезке составим следующую таблицу:

Что означают слова "задать функцию"? Они означают: объяснить всем желающим, о какой конкретной функции идёт речь. Причём, объяснить чётко и однозначно!

Как это можно сделать? Как задать функцию?

Можно написать формулу. Можно нарисовать график. Можно составить табличку. Любой способ – это какое-то правило, по которому можно узнать значение игрека для выбранного нами значения икса. Т.е. "задать функцию", это значит – показать закон, правило, по которому икс превращается в игрек.

Обычно, в самых различных заданиях присутствуют уже готовые функции. Они нам уже заданы. Решай себе, да решай.) Но. Чаще всего школьники (да и студенты) работают с формулами. Привыкают, понимаешь. Так привыкают, что любой элементарный вопрос, относящийся к другому способу задания функции, тотчас огорчает человека. )

Во избежание подобных случаев, имеет смысл разобраться с разными способами задания функций. Ну и, конечно, применить эти знания к "хитрым" вопросам. Это достаточно просто. Если знаете, что такое функция. )

Аналитический способ задания функции.

Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая задана формулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например: y = 2x, или y = x 2 и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

К слову сказать, не всякая формула может задавать функцию. Не в каждой формуле соблюдается жёсткое условие из определения функции. А именно – на каждый икс может быть только один игрек. Например, в формуле у = ±х, для одного значения х=2, получается два значения у: +2 и -2. Нельзя этой формулой задать однозначную функцию. А с многозначными функциями в этом разделе математики, в матанализе, не работают, как правило.

Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула – вы знаете про функцию всё! Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь матанализ стоит именно на таком способе задания функций. Скажем, взять производную от таблицы крайне затруднительно. )

Аналитический способ достаточно привычен и проблем не создаёт. Разве что некоторые разновидности этого способа, с которыми сталкиваются студенты. Я про параметрическое и неявное задание функций.) Но такие функции – в специальном уроке.

Переходим к менее привычным способам задания функции.

Табличный способ задания функции.

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому иксу соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение игрека. В первой строчке – значения аргумента. Во второй строчке – соответствующие им значения функции, например:

x	– 3	– 1		2	3	4
y	5	2	– 4	– 1	6	5

Прошу обратить внимание! В данном примере игрек зависит от икса как попало. Я специально так придумал.) Нет никакой закономерности. Ничего страшного, так бывает. Значит, именно так я задал эту конкретную функцию. Именно так я установил правило, по которому икс превращается в игрек.

Можно составить другую табличку, в которой будет закономерность. Этой табличкой будет задана другая функция, например:

x	– 3	– 1		2	3	4
y	– 6	– 2		4	6	8

Уловили закономерность? Здесь все значения игрека получаются умножением икса на двойку. Вот и первый "хитрый" вопрос: можно ли функцию, заданную с помощью Таблицы 2, считать функцией у = 2х ? Подумайте пока, ответ будет ниже, в графическом способе. Там это всё очень наглядно.)

Чем хорош табличный способ задания функции? Да тем, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице.) А более ничего хорошего нет. Мы не знаем значения функции для иксов, которых нет в таблице. В этом способе такие значения икса просто не существуют. Кстати, это подсказка к хитрому вопросу.) Мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы. Ничего не можем. Да и наглядность в этом способе оставляет желать лучшего. Для наглядности хорош графический способ.

Графический способ задания функции.

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат – значение функции (у). По графику тоже можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у. График может быть любой, но. не какой попало.) Мы работаем только с однозначными функциями. В определении такой функции чётко сказано: каждому х ставится в соответствие единственный у. Один игрек, а не два, или три. Для примера, посмотрим на график окружности:

Окружность, как окружность. Почему бы ей не быть графиком функции? А давайте найдем, какой игрек будет соответствовать значению икса, например, 6? Наводим курсор на график (или касаемся рисунка на планшете), и. видим, что этому иксу соответствует два значения игрека: у=2 и у=6.

Два и шесть! Стало быть, такой график не будет графическим заданием функции. На один икс приходится два игрека. Не соответствует этот график определению функции.

Но если условие однозначности выполнено, график может быть совершенно любым. Например:

Эта самая кривулина – и есть закон, по которому можно перевести икс в игрек. Однозначный. Захотелось нам узнать значение функции для х = 4, например. Надо найти четвёрку на оси иксов и посмотреть, какой игрек соответствует этому иксу. Наводим мышку на рисунок и видим, что значение функции у для х=4 равно пяти. Какой формулой задано такое превращение икса в игрек – мы не знаем. И не надо. Графиком всё задано.

Теперь можно вернуться к "хитрому" вопросу про у=2х. Построим график этой функции. Вот он:

Разумеется, при рисовании этого графика мы не брали бесконечное множество значений х. Взяли несколько значений, посчитали у, составили табличку – и всё готово! Самые грамотные вообще всего два значения икса взяли! И правильно. Для прямой больше и не надо. Зачем лишняя работа?

Но мы совершенно точно знали, что икс может быть любым. Целым, дробным, отрицательным. Любым. Это по формуле у=2х видно. Поэтому смело соединили точки на графике сплошной линией.

Если же функция будет нам задана Таблицей 2, то значения икса нам придётся брать только из таблицы. Ибо другие иксы (и игреки) нам не даны, и взять их негде. Нет их, этих значений, в данной функции. График получится из точек. Наводим мышку на рисунок и видим график функции, заданной Таблицей 2. Значения икс-игрек на осях я не писал, разберётесь, поди, по клеточкам?)

Вот и ответ на "хитрый" вопрос. Функция, заданная Таблицей 2 и функция у=2х – разные.

Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает. где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции. А уж в теме с производной, задания с графиками – сплошь и рядом!

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь. Мы с графиками дружить будем.)

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели. Но на вопрос: "А четвёртый!?" – зависает основательно.)

Такой способ есть.

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить. И график построить. Кстати, график забавный получается. ) Попробуйте.

Способ словесного описания – способ достаточно экзотичный. Но иногда встречается. Здесь же я его привёл, чтобы придать вам уверенности в неожиданных и нестандартных ситуациях. Нужно просто понимать смысл слов "функция задана. " Вот он, этот смысл:

Если есть закон однозначного соответствия между х и у – значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен – формулой, табличкой, графиком, словами, песнями, плясками – сути дела не меняет. Этот закон позволяет по значению икса определить соответствующее значение игрека. Всё.

Сейчас мы применим эти глубокие знания к некоторым нестандартным заданиям.) Как и обещано в начале урока.

Функция у = f(x) задана Таблицей 1:

x	– 3	– 1		2	3	4
y	5	2	– 4	– 1	6	5

Функция у = g(x) задана Таблицей 2:

x	– 3	– 1		2	3	4
y	– 6	– 2		4	6	8

Найти значение функции p(4), если p(х)= f(x) – g(x)

Если вы вообще не можете понять, что к чему – прочитайте предыдущий урок "Что такое функция?" Там про такие буковки и скобочки очень понятно написано.) А если вас смущает только табличная форма, то разбираемся здесь.

Из предыдущего урока ясно, что, если, p(х) = f(x) – g(x), то p(4) = f(4) – g(4). Буквы f и g означают правила, по которым каждому иксу ставится в соответствие свой игрек. Для каждой буквы (f и g) – своё правило. Которое задано соответствующей таблицей.

Значение функции f(4) определяем по Таблице 1. Это будет 5. Значение функции g(4) определяем по Таблице 2. Это будет 8. Остаётся самое трудное.)

Это правильный ответ.

Функция у=f(x) задана графически:

Решить неравенство f(x) > 2

Вот-те раз! Надо решить неравенство, которое (в привычной форме) блистательно отсутствует! Остаётся либо бросать задание, либо включить голову. Выбираем второе и рассуждаем.)

Что значит решить неравенство? Это значит, найти все значения икса, при которых выполняется данное нам условие f(x) > 2. Т.е. все значения функции (у) должны быть больше двойки. А у нас на графике игрек всякий есть. И больше двойки есть, и меньше. А давайте, для наглядности, по этой двойке границу проведём! Наводим курсор на рисунок и видим эту границу.

Строго говоря, эта граница есть график фукции у=2, но это не суть важно. Важно то, что сейчас на графике очень хорошо видно, где, при каких иксах, значения функции, т.е. у, больше двойки. Они больше при х>3. При х>3 вся наша функция проходит выше границы у=2. Вот и всё решение. Но выключать голову ещё рано!) Надо ещё ответ записать.

На графике видно, что наша функция не простирается влево и вправо на бесконечность. Об этом точки на концах графика говорят. Кончается там функция. Стало быть, в нашем неравенстве все иксы, которые уходят за пределы функции смысла не имеют. Для функции этих иксов не существует. А мы, вообще-то, неравенство для функции решаем.