Число уменьшилось в целое количество раз

Ответ или решение 1

Предположим, что такое число A существует и оно записывается цифрами a0, a1, . , an:

Тогда имеем место представление:

A = 10^n * a0 + (a1 a2 . an).

1) Если существует такое целое число А, которое при зачеркивании первой цифры уменьшится в 57 раз, то:

A = 10^n * a0 + (a1 a2 . an) = 57 * (a1 a2 . an),

10^n * a0 = 56 * (a1 a2 . an) = 7 * 8 * (a1 a2 . an).

Отсюда вытекает, что 10^n * a0 должно делиться на 7. Так как 10^n не делится на 7,

то а0 должно делиться на 7.

Так как а0 – цифра (1, 2, 3, . , 9), то а0 = 7. Следовательно:

10^n = 8 * (a1 a2 . an).

Заметим, что 1000 = 8 * 125. Следовательно, число 7125 удовлетворяет условию задачи.

2) Аналогично можем получить:

A = 10^n * a0 + (a1 a2 . an) = 58 * (a1 a2 . an),

10^n * a0 = 57 * (a1 a2 . an) = 3 * 19 * (a1 a2 . an).

Значит, 10^n * a0 должно делиться на 19. Так как 10^n на 19 не делится, то

(по мотивам задачи М. А. Евдокимова)

Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в целое число раз, если зачеркнуть первую цифру.

задан 26 Май ’17 1:45

Вроде любое число можно уменьшить в целое число раз

@Williams Wol. что значит любое? Возьмём 123, зачеркнём первую цифру. Получится 23, которое не будет делителем 123. То есть уменьшение будет в нецелое число раз.

а. ну если так. из условия это не особо понятно, что исходное число делят.

@Williams Wol. трактовка совершенно однозначная. Зачеркнули первую цифру; число уменьшилось в целое число раз. Например, 125 уменьшается в 5 раз.

оБКДЙФЕ ОБЙВПМШЫЕЕ ОБФХТБМШОПЕ ЮЙУМП, ОЕ ПЛБОЮЙЧБАЭЕЕУС ОХМЕН, ЛПФПТПЕ РТЙ ЧЩЮЕТЛЙЧБОЙЙ ПДОПК (ОЕ РЕТЧПК) ГЙЖТЩ ХНЕОШЫБЕФУС Ч ГЕМПЕ ЮЙУМП ТБЪ.

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ x – ЧЩЮЕТЛОХФБС ГЙЖТБ, a – ЮБУФШ ЮЙУМБ УМЕЧБ ПФ x, c – ЮБУФШ ЮЙУМБ УРТБЧБ ПФ x . еУМЙ ГЙЖТБ x УФПЙФ ОБ ( n +1)-Н НЕУФЕ (УЮЙФБС УРТБЧБ), ФП ЙУИПДОПЕ ЮЙУМП ЙНЕЕФ ЧЙД a ·10 n+1 + x ·10 n + c .
рПУМЕ ЧЩЮЕТЛЙЧБОЙС ГЙЖТЩ x РПМХЮЙФУС ЮЙУМП a ·10 n + c . тБУУНПФТЙН ПФОПЫЕОЙЕ ЙУИПДОПЗП ЮЙУМБ Л РПМХЮЕООПНХ r = , ЗДЕ
c n . чЩЮЙФБС 10 ЙЪ ПВЕЙИ ЮБУФЕК ТБЧЕОУФЧБ, Й РТПЙЪЧПДС ОЕУМПЦОЩЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙС, РПМХЮЙН r – 10 = ≤ ≤ ≤ 9.
пВПЪОБЮЙН l = r – 10. хНОПЦБС РПУМЕДОЕЕ ТБЧЕОУФЧП ОБ ЪОБНЕОБФЕМШ Й РТЙЧПДС РПДПВОЩЕ ЮМЕОЩ, РПМХЮЙН: ( x – la )·10 n = ( l + 9) c . (*)
еУМЙ l ≤ 0, ФП МЕЧБС ЮБУФШ ТБЧЕОУФЧБ (*) РПМПЦЙФЕМШОБ, ЪОБЮЙФ, l + 9 > 0. йФБЛ, – 8 ≤ l ≤ 9. сУОП ФБЛЦЕ, ЮФП l ≠ 0 (ЙОБЮЕ ДЕУСФЙЮОБС ЪБРЙУШ ЮЙУМБ c ПЛБОЮЙЧБЕФУС ОХМЕН).

мЕННБ. a – ГЙЖТБ (ЙОЩНЙ УМПЧБНЙ, a l > 0. йЪ ТБЧЕОУФЧБ (*) УМЕДХЕФ, ЮФП x – la > 0, ЪОБЮЙФ, a x /_l ≤ 9 /_l ≤ 9.
2) l x – la = (l + 9)c·10 –n la a n + 2 ГЙЖТ. рПЬФПНХ, ЮФПВЩ ОБКФЙ НБЛУЙНБМШОПЕ ЙУИПДОПЕ ЮЙУМП, ОХЦОП ОБКФЙ НБЛУЙНБМШОПЕ n .
юЙУМП c РП ХУМПЧЙА ОЕ ПЛБОЮЙЧБЕФУС ОХМЕН, РПЬФПНХ ТБЪМПЦЕОЙЕ c ОБ РТПУФЩЕ НОПЦЙФЕМЙ МЙВП ОЕ УПДЕТЦЙФ ДЧПЕЛ, МЙВП ОЕ УПДЕТЦЙФ РСФЕТПЛ.
рХУФШ ТБЪМПЦЕОЙЕ ЮЙУМБ c ОЕ УПДЕТЦЙФ ДЧПЕЛ. тБУУНПФТЙН РТБЧХА ЮБУФШ ТБЧЕОУФЧБ (*). фБЛ ЛБЛ 1 ≤ l + 9 ≤ 18, ЮЙУМП l + 9 НПЦЕФ ДЕМЙФШУС ОБ ЮЕФЧЈТФХА УФЕРЕОШ ДЧПКЛЙ ( l + 9 = 16), ОП ОЕ НПЦЕФ ДЕМЙФШУС ОБ РСФХА. рПЬФПНХ n ≤ 4. рХУФШ n = 4, ФПЗДБ l + 9 = 16, Й ТБЧЕОУФЧП (*) РЕТЕРЙЫЕФУС Ч ЧЙДЕ
( x – 7 a )·5 4 = c .
рПУЛПМШЛХ x – ЬФП ГЙЖТБ, ФП a = 1, x = 8 ЙМЙ x = 9. рТЙ x = 9 ЮЙУМП c ПЛБОЮЙЧБЕФУС ОХМЕН Й РПФПНХ ОЕ РПДИПДЙФ. рТЙ x = 8 РПМХЮБЕН c = 625.
рХУФШ ЮЙУМП c ОЕ УПДЕТЦЙФ РСФЕТПЛ. юЙУМП l + 9 ДЕМЙФУС ОБ УФЕРЕОШ РСФЕТЛЙ ОЕ ЧЩЫЕ РЕТЧПК, РПЬФПНХ n ≤ 1, Й ЮЙУМП ЪБЧЕДПНП ОЕ ВХДЕФ НБЛУЙНБМШОЩН.