Алгоритм ax2 bx c 0

Краткое описание документа:

Решение любой математической задачи предполагает знание точного предписания, определяющего, как от исходных данных перейти к искомому результату. Такое предписание называется алгоритмом решения.

В этом видеоуроке рассмотрен алгоритм решения квадратного уравнения

1. Поскольку число корней квадратного уравнения, а значит его решений, зависит от дискриминанта, то сначала целесообразно определить этот дискриминант. Возможно, что уравнение и вовсе не придется решать.

Итак, вычисляем дискриминант D по формуле D = b 2 – 4ac. Далее следуем пунктам.

2. Если D 2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые определяются по формулам x₁ = ( (- b + √D) / (2a)), x₂ = ( (- b – √D) / (2a)).

Этот алгоритм универсален, потому что с его помощью можно решать уравнения полные, и так называемые неполные квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение – это уравнение ax 2 + bx + c = 0, где b не равно 0 и с не равно 0.

Если в уравнении b=0 или с=0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным.

Рассмотрим решение некоторых уравнений. Например, x 2 + 3x – 5 = 0. В видеоуроке показано, как применяется алгоритм решения. Дискриминант данного уравнения D=29, то есть D>0, значит, уравнение имеет два корня, которые мы и находим по формулам

x₁ = (- b + √D) / (2a), x₂ = (- b – √D) / (2a). В результате получаем ответ x₁ = (- 3 + √29)/2 , x₂ = (- 3 – √29)/2.

Некоторые уравнения нужно сначала преобразовать, а затем решать. Примеры решения таких уравнений показаны в видеоуроке.

Рассмотрим уравнение -9x 2 + 6x – 1 = 0. Умножая обе части этого уравнения на -1, получим 9x 2 – 6x + 1 = 0. Дискриминант данного уравнения D=0. Значит, согласно алгоритму, квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

X = – (b/2a). Этот корень x = 1/3.

Данное уравнение можно решить иначе. Как? Смотрите видеоурок.

Следующее уравнение 2x 2 – x + 3,5 = 0. Определяем дискриминант этого уравнения. Оказывается, что D= -27, то есть D 2 – 4ac 2 – 4ac = 0, то x_1,2 = ( -b +- √0)/2a = -(b/2a) . Говорят, также, что уравнение имеет два равных корня, или корень кратности два.

Если же D = b 2 – 4ac > 0, то уравнение имеет два корня, которые вычисляют по формулам x₁ = (- b + √D) / (2a), x₂ = (- b – √D) / (2a). Таким образом, квадратное уравнение можно решать подробно, как это показано в видеоуроке, либо сразу записать общую формулу, и с ее помощью делать необходимые вычисления.

Рассмотрим пример 2/3x 2 + 5/6x 2 – 7/12 = 0. Мы видим, что коэффициенты и свободный член уравнения представляют собой дроби, с которыми неудобно работать. Как преобразовать и решить это и подобные уравнения, узнаем из видеоурока. Оттуда же поймем, когда удобнее пользоваться развернутым алгоритмом, а когда общей формулой.

Рассмотрим уравнение x 2 – (2p + 1)x+ (p 2 + p -2) = 0. Отличие этого уравнения состоит в том, что коэффициенты его являются буквенными выражениями. Говорят, что это уравнение с буквенными коэффициентами или с параметрами. Решение уравнений с параметрами требует особых навыков. В видеоуроке подробно и доступно показано решение таких уравнений и учет значений параметра при этом.

Система тестов

Номер теста	Проверяемый случай	Коэффициенты			Результаты
		a	b	c
1	d >0	1	1	-2	x1 = 1, x2 = – 2
2	d=0	1	2	1	Корни равны: x1 = – 1, x2 = – 1
3	d 0			2	Неправильное уравнение
6	a=0, b<>0		2	1	Линейное уравнение. Один корень: x = – 0,5
7	a<>0, b<>0, с=0	2	1		x1 = 0, x2 = – 0,5

Школьный АЯ (упрощенный алгоритм)
алг Квур (арг вещ а, b, c, рез вещ x1, x2, рез лит t)
дано a <> 0
нач вещ d
d := b**2-4*a*c | d – дискриминант квадратного уравнения
если d
Turbo Pascal
Program QuadraticEquation;
Uses Crt; < подключение библиотеки Crt >
Var a, b, c : Real;
Discr : Real;
x1, x2 : Real;
Test, NTest : Integer;
BEGIN
ClrScr;
Write(‘Введите количество тестов : ‘);
ReadLn(NTest);
For Test := 1 to NTest do <цикл по всем тестам задачи >
begin
Write(‘Тест ‘, Test, ‘. Введите коэффициенты a, b, c : ‘);
ReadLn(a, b, c);
If (a=0) and (b=0) and (c=0)
then begin Write(‘Все коэффициенты равны нулю.’);
WriteLn(‘x – любое число ‘)
end
else
If (a=0) and (b<>0)
then WriteLn(‘Линейное уравнение. Oдин корень: x =’, (-c/b):6:2)
else
If (a=0) and (b=0) and (c<>0)
then WriteLn(‘Неправильное уравнение.’)
else
begin
Discr := b*b – 4*a*c;
If Discr > 0
then begin
x1:=(-b + Sqrt(Discr)) / (2*a);
x2:=(-b – Sqrt(Discr)) / (2*a);
WriteLn(‘x1=’ , x1:6:2 , ‘; x2=’ , x2:6:2)
end
else
If Discr = 0
then begin
x1 := -b/(2*a);
WriteLn(‘Корни равны: x1=’, x1:6:2, ‘ x2=’, x1:6:2)
end
else WriteLn(‘Действительных корней нет.’);
end;
WriteLn
end;
ReadLn
END.

QBasic
CLS
INPUT "Введите количество тестов : ", NTest
FOR Test = 1 TO NTest ‘ цикл по всем тестам задачи
PRINT "Тест" ; Test ; ". Введите коэффициенты a, b, c : " ;
INPUT a, b, c
IF (a = 0) AND (b = 0) AND (c = 0) THEN
PRINT "Все коэффициенты равны нулю. x – любое число"
ELSE
IF (a = 0) AND (b <> 0) THEN
PRINT "Линейное уравнение, корень один : x = "; -c / b
ELSE
IF (a = 0) AND (b = 0) AND (c <> 0) THEN
PRINT "Неправильное уравнение."
ELSE
Discr = b * b – 4 * a * c
IF Discr > 0 THEN
x1 = (-b + SQR(Discr)) / (2 * a)
x2 = (-b – SQR(Discr)) / (2 * a)
PRINT "x1 = "; x1; "; x2 = "; x2
ELSE
IF Discr = 0 THEN
x1 = – b / (2 * a)
PRINT "Корни равны: x1 = "; x1; "; x2 = "; x1
ELSE PRINT "Действительных корней нет."
END IF
END IF
END IF
END IF
END IF : PRINT
NEXT Test
ENDРезультаты работы QBasic-программы (фрагмент):

Тест 1 . Введите коэффициенты a, b, c : ? 1, 1, -2 x1 = 1 ; x2 = – 2

Тест 2 . Введите коэффициенты a, b, c : ? 1, 2, 1
Корни равны: x1 = – 1 ; x2 = – 1

Тест 3 . Введите коэффициенты a, b, c : ? 2, 1, 2
Действительных корней нет.

Задача 1. Составить блок-схему и программу, находящие корни квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0

ПРОГРАММА на БЕЙСИК

PRINT “Решение квадратного уравнения“

INPUT “Ввести a, b, c: “, a, b, c

d = b * b – 4 * a * c

THEN Х 1=(-b-sqr(d))/(2*a) : Х 2=(-b+sqr(d))/(2*a) : PRINT “Х1=“, Х1, “ Х2=“, Х2

ELSE PRINT “Действительных корней нет “

Запустите программу на выполнение и решите следующие квадратные уравнения:

а) 1125 х 2 – 45 х – 324 = 0

б) 502 х 2 – 38,5 х + 12,125 = 0

в) 16 х 2 – 256 х + 1024 = 0

Задача 2. Составить блок-схему и программу, определяющие количество корней квадратного уравнения

ПРОГРАММА на БЕЙСИК

PRINT “Количество корней квадратного уравнения“

INPUT “Ввести a, b, c: “, a, b, c

d = b * b – 4 * a * c

IF d > 0 THEN PRINT “2 разных корня“ ELSE PRINT “2 одинаковых корня“

ELSE PRINT “Действительных корней нет“

Запустите программу на выполнение и определите количество корней в следующих квадратных уравнениях:

а) 1125 х 2 – 45 х – 324 = 0

б) 502 х 2 – 38,5 х + 12,125 = 0

в) 16 х 2 – 256 х + 1024 = 0

Задача 3*. Составить блок-схему и программу, определяющие имеет ли квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 хотя бы один корень, больший числа m .

Запустите программу на выполнение и определите имеется ли корень в следующих квадратных уравнениях:

а) 1125 х 2 – 45 х – 324 = 0 при m = 0

б) 502 х 2 – 38,5 х + 12,125 = 0 при m = 15

в) 16 х 2 – 256 х + 1024 = 0 при m = 7

Домашнее задание – Составить блок-схемы и программы для следующих задач:

Задача 1. Определить является ли введенное с клавиатуры число корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 .

“>

Adblock
detector