Пусть дана некоторая точка М и вектор n. Проведем через точку М прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).
Пусть M – произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор (overrightarrow<0>M>) перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n и (overrightarrow<0>M>) равнялось нулю:
Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки M и M имеют координаты (x ; у ) и (x; у).
Тогда (overrightarrow<0>M>) = (x – x; у – у). Обозначим координаты нормального вектора n через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:
Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М (x; у) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).
Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5) (рис.83).
Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:
– 1 • (x-2) + 5 • (у + 3) = 0
или, окончательно, x – 5у – 17 = 0.
Задача 2. Даны точки M1(2; -1) и M2(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору (overrightarrow<1>M_<2>>).
Нормальный вектор искомой прямой n = (overrightarrow<1>M_<2>>) имеет координаты (2; 6) (рис. 84).
Следовательно, по формуле (2) получим уравнение
Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках M1(-5; 2), M2(5; 6) и M3(1; -2) проведена медиана M1А1. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А1 перпендикулярно медиане M1A1 (рис. 85).
За нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор n = (overrightarrow<1>A_<1>>). Определим его координаты. Точка A1 – середина отрезка M2M3, поэтому, если (x1; y1) – ее координаты, то ( x_1 = frac<5+1><2>=3, ;;а ;; y_1=frac<6-2><2>=2 ).
Тогда нормальный вектор n = (overrightarrow<1>A_<1>>) имеет координаты (8; 0). Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид
Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(-3; -1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне AB (рис. 86).
За нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор n = (overrightarrow).
Так как n = (2-(-3); 7 – (-1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора n в формулу (2), получим
или, окончательно, 5х + 8у – 57 = 0.
В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.
Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой
Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.
Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .
Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.
Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .
По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .
Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = – 1 .
Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор – n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x – x 1 ) + B 2 · ( y – y 1 ) = 0 .
Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x – x 1 a x = y – y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.
После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен – 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом – 1 k b в виде y – y 1 = – 1 k b · ( x – x 1 ) .
Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.
Решение примеров
Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.
Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , – 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x – 2 3 = y + 4 1 .
Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x – 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , – 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .
Получим уравнение вида: 3 · ( x – 7 ) + 1 · ( y – ( – 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y – 12 = 0
Полученное уравнение является искомым.
Ответ: 3 x + y – 12 = 0 .
Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x – y + 1 = 0 .
Имеем, что n b → = ( 2 , – 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , – 1 ) – координаты искомого направляющего вектора прямой.
Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , – 1 ) . Получим, что x – 0 2 = y + 0 – 1 ⇔ x 2 = y – 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x – y + 1 = 0 .
Ответ: x 2 = y – 1 .
Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , – 3 ) перпендикулярно прямой y = – 5 2 x + 6 .
Из уравнения y = – 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение – 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение – 1 – 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , – 3 ) перпендикулярно прямой y = – 5 2 x + 6 , равна y – ( – 3 ) = 2 5 · x – 5 ⇔ y = 2 5 x – 5 .
Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).
Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /9x – 1 /3 (a = 4 /9). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .