Старший разряд двоичного числа

Содержание

Чисто технически было бы очень сложно сделать компьютер, который бы «понимал» десятичные числа. А вот сделать компьютер, который понимает двоичные числа достаточно легко. Двоичное число оперирует только двумя цифрами – 0 и 1. Несложно сопоставить с этими цифрами два состояния – вЫключено и включено (или нет напряженияесть напряжение). Процессор – это микросхема с множеством выводов. Если принять, что отсутствие напряжения на выводе – это 0 (ноль), а наличие напряжения на выводе – это 1 (единица), то каждый вывод может работать с одной двоичной цифрой. Сейчас мы говорим о процессоре очень упрощённо, потому что мы изучаем не процессоры, а системы исчисления. Об устройстве процессора вы можете почитать здесь: Структура процессора.

Конечно, это касается не только процессоров, но и других составляющих компьютера, например, шины данных или шины адреса. И когда мы говорим, например, о разрядности шины данных, мы имеем ввиду количество выводов на шине данных, по которым передаются данные, то есть о количестве двоичных цифр в числе, которое может быть передано по шине данных за один раз. Но о разрядности чуть позже.

Итак, процессор (и компьютер в целом) использует двоичную систему, которая оперирует всего двумя цифрами: 0 и 1. И поэтому основание двоичной системы равно 2. Аналогично, основание десятичной системы равно 10, так как там используются 10 цифр.

Каждая цифра в двоичном числе называется бит (или разряд). Четыре бита – это полубайт (или тетрада), 8 бит – байт, 16 бит – слово, 32 бита – двойное слово. Запомните эти термины, потому что в программировании они используются очень часто. Возможно, вам уже приходилось слышать фразы типа слово данных или байт данных. Теперь, я надеюсь, вы понимаете, что это такое.

Отсчёт битов в числе начинается с нуля и справа. То есть в двоичном числе самый младший бит (нулевой бит) является крайним справа. Слева находится старший бит. Например, в слове старший бит – это 15-й бит, а в байте – 7-й. В конец двоичного числа принято добавлять букву b. Таким образом вы (и ассемблер) будете знать, что это двоичное число. Например, А теперь попробуем понять, как формируется двоичное число.

Ноль, он и в Африке ноль. Здесь вопросов нет. Но что дальше. А дальше разряды двоичного числа заполняются по мере увеличения этого числа. Для примера рассмотрим тетраду. Тетрада (или полубайт) имеет 4 бита.

Двоичное Десятичное Пояснения
0000
0001 1 В младший бит устанавливается 1.
0010 2 В следующий бит (бит 1) устанавливается 1, предыдущий бит (бит 0) очищается.
0011 3 В младший бит устанавливается 1.
0100 4 В следующий бит (бит 2) устанавливается 1, младшие биты (бит 0 и 1) очищаются.
0101 5 В младший бит устанавливается 1.
0110 6 Продолжаем в том же духе.
0111 7 .
1000 8 .
1001 9 .
1010 10 .
1011 11 .
1100 12 .
1101 13 .
1110 14 .
1111 15 .
Читайте также:  Телевизор филипс 32 дюйма инструкция

Итак, мы видим, что при формировании двоичных чисел разряды числа заполняются нулями и единицами в определённой последовательности:

Если младший равен нулю, то мы записываем туда единицу. Если в младшем бите единица, то мы переносим её в старший бит, а младший бит очищаем. Тот же принцип действует и в десятичной системе: Всего для тетрады у нас получилось 16 комбинаций. То есть в тетраду можно записать 16 чисел от 0 до 15. Байт – это уже 256 комбинаций и числа от 0 до 255. Ну и так далее. На рис. 2.2 показано наглядно представление двоичного числа (двойное слово).

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Грузинская
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Содержание

Двоичная запись чисел [ править | править код ]

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов ( и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) [1] , например 0b101 или соответственно &101.

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012 произносится «один ноль один».

Натуральные числа [ править | править код ]

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> , имеет значение:

( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 = ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k , <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>=sum _^a_2^,>

  • n <displaystyle n>— количество цифр (знаков) в числе,
  • a k <displaystyle a_>— цифры из множества <0,1>,
  • k <displaystyle k>— порядковый номер цифры.

Отрицательные числа [ править | править код ]

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления ( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> , имеет величину:

( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 = − ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k . <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>=-sum _^a_2^.>

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде.

Дробные числа [ править | править код ]

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − ( m − 1 ) a − m ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>,a_<-1>a_<-2>dots a_<-(m-1)>a_<-m>)_<2>> , имеет величину:

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел [ править | править код ]

+ 1
1
1 1 0 (перенос 1 в старший разряд)
1
1
1 1(заём из старшего разряда)

Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 1410 + 510 = 1910 в двоичном виде выглядит как 11102 + 1012 = 100112):

+ 1 1 1
1 1
1 1 1
× 1
1 1

Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 1410 * 510 = 7010 в двоичном виде выглядит как 11102 * 1012 = 10001102):

× 1 1 1
1 1
+ 1 1 1
1 1 1
1 1 1

Преобразование чисел [ править | править код ]

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

Читайте также:  Должен ли подоконник закрывать батарею
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные [ править | править код ]

Допустим, дано двоичное число 1100012. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:

То же самое чуть иначе:

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1
+32 +16 +0 +0 +0 +1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 1100012 равнозначно десятичному 4910.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные [ править | править код ]

Нужно перевести число 1011010,1012 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2 6 + * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + * 2 2 + 1 * 2 1 + * 2 0 + 1 * 2 −1 + * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625

То же самое чуть иначе:

64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 1 1 1 , 1 1
+64 +0 +16 +8 +0 +2 +0 +0.5 +0 +0.125

Преобразование методом Горнера [ править | править код ]

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 10110112 переводится в десятичную систему так:

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом Горнера [ править | править код ]

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Преобразование десятичных чисел в двоичные [ править | править код ]

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка
2/2 = 1 без остатка
1/2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные [ править | править код ]

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

  • Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 • 2 = ,232
0,232 • 2 = ,464
0,464 • 2 = ,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = ,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = ,784
и т. д.

Получим: 206,11610 ≈ 11001110,00011101102

Применения [ править | править код ]

В цифровых устройствах [ править | править код ]

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

  • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
  • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,
Читайте также:  Copyright c 1997 2000 intel corporation

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −510 может быть записано как −1012 но в 32-битном компьютере будет храниться как 111111111111111111111111111110112.

В английской системе мер [ править | править код ]

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16″, 3 11 / 32″ и т. д.

Обобщения [ править | править код ]

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Мы поможем найти Вам клиентов!

  • Главная &nbsp / &nbsparticles &nbsp / &nbsp
  • Самый младший двоичный разряд и самый старший двоичный разряд

Самый младший двоичный разряд и самый старший двоичный разряд

Нужны новые клиенты? Тогда Вам рекомендуем посмотреть этот раздел нашего сайта
_____

Самый младший двоичный разряд и самый старший двоичный разряд

Системой счисления, которую привыкли использовать большинство людей, является десятичной системой. Мы используем десять цифр 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9, и увеличиваем значение степени 10. Возможно, первые люди считали на пальцах; иначе мы могли бы использовать и систему счисления с основанием 6 или 17. Таким образом, основание числа очень важно в любой системе счисления, это положения цифры, которое соответствует степени основания. Когда мы считаем от 0 до 10, мы получаем 1 в позиции десяток и 0 ноль в позиции единиц. Продолжая считать до 100, размешаем 1 в позицию сотен, и 0 в позиции десятков и единиц. Это то, что называется позиционной системой счисления.

В двоичном числе, самая правая цифра представляет собой самый младший двоичный разряд (least significant bit (LSB)), а самая левая цифра – самый старший двоичный разряд (most significant bit (MSB)). Значение разряда любой цифры между этими двумя, младшим и старшим, разрядами, зависит от положения между LSB и MSB.

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ 2

Знание системы счисления с основанием 2 важно, потому что протокол IP version 4 (IPv4) использует адреса, состоящие из 32 битов. 32 бита разделены на 4 группы по 8 бит, называемых октетами. Для разделения их используется точка, расположенная между октетами. (Другое название для 8 бит это байт, но в этом модуле будет использоваться название октет).

Различные классы адресов основываются на разделении по октетам. Это так же является простым в использовании решением, так как 8-ми битовое число проще перевести в двоичную систему, чем 32-х битовое. Когда переводите двоичный IP адрес, вы только преобразуете один октет за раз. Максимально возможный двоичный октет -11111111, который преобразуется в десятичное число 255.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *