- Обозначения в треугольнике..
- Виды треугольников:
- Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:
- Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.
- Признаки равенства треугольников:
- Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- Подобные треугольники.
- Признаки подобия треугольников:
- Свойства подобных треугольников.
- Подобие в прямоугольных треугольниках.
- Теорема Пифагора.
- Теоремы синусов и косинусов.
- Теорема синусов.
- Теорема косинусов.
- Основные линии треугольника.
- Медиана.
- Свойства медиан треугольника.
- Биссектриса
- Свойства биссектрисы угла треугольника
- Высота треугольника
- Свойства высот треугольника
- Срединный перпендикуляр
- Свойства срединных перпендикуляров треугольника.
- Средняя линия
- Свойство средней линии треугольника
- Формулы площади треугольника
- 1.Произвольный треугольник – формулы площади
- Знакомство с основными свойствами треугольника
- Знакомство с видами треугольников по величине угла
- Знакомство с видами по числу равных сторон
- Выполнение тренировочных упражнений, деление на группы
- Решение геометрической задачи
В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.
Виды треугольников по углам:
- остроугольные
- прямоугольные
- тупоугольные
Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).
Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).
Виды треугольников по сторонам:
- равносторонние
- равнобедренные
- разносторонние
Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.
Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.
Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.
Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:
Свойства треугольников.
Меню
Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.
Для инженера это еще и единственная "жесткая" плоская фигура на свете.
Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.
Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.
Обозначения в треугольнике..
Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).
Виды треугольников:
(по величине углов)
Прямоугольный треугольник – это треугольник, содержащий прямой угол.
Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник – это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.
(по числу равных сторон)
Равносторонний (правильный) треугольник – это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
Равнобедренный тругольник – это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
Разносторонний треугольник – это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.
(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).
Рассмотрим рис. ниже.
Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.
Угол Θ – называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ
(а+с+b) – периметр треугольника.
Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)
Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
Сумма углов треугольника равна 180 ° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).
Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
- a b – c;
- b a – c;
- c a – b.
Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.
Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.
Признаки равенства треугольников:
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:
1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.
Подобные треугольники.
Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.
Признаки подобия треугольников:
- Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
- Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
- Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Основные линии треугольника.
Медиана.
Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойства медиан треугольника.
- Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
- Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
- Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.