Разносторонний тупоугольный треугольник фото

Содержание
  1. Обозначения в треугольнике..
  2. Виды треугольников:
  3. Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:
  4. Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.
  5. Признаки равенства треугольников:
  6. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
  7. Подобные треугольники.
  8. Признаки подобия треугольников:
  9. Свойства подобных треугольников.
  10. Подобие в прямоугольных треугольниках.
  11. Теорема Пифагора.
  12. Теоремы синусов и косинусов.
  13. Теорема синусов.
  14. Теорема косинусов.
  15. Основные линии треугольника.
  16. Медиана.
  17. Свойства медиан треугольника.
  18. Биссектриса
  19. Свойства биссектрисы угла треугольника
  20. Высота треугольника
  21. Свойства высот треугольника
  22. Срединный перпендикуляр
  23. Свойства срединных перпендикуляров треугольника.
  24. Средняя линия
  25. Свойство средней линии треугольника
  26. Формулы площади треугольника
  27. 1.Произвольный треугольник – формулы площади
  28. Знакомство с основными свойствами треугольника
  29. Знакомство с видами треугольников по величине угла
  30. Знакомство с видами по числу равных сторон
  31. Выполнение тренировочных упражнений, деление на группы
  32. Решение геометрической задачи

В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.

Виды треугольников по углам:

  • остроугольные
  • прямоугольные
  • тупоугольные

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние
  • равнобедренные
  • разносторонние

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.

Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:

Свойства треугольников.

Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.

Для инженера это еще и единственная "жесткая" плоская фигура на свете.

Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике..

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник – это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник – это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

(по числу равных сторон)

(по соотношению сторон)

Равносторонний (правильный) треугольник – это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный тругольник – это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник – это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Рассмотрим рис. ниже.

Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.

Угол Θ – называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ

(а+с+b) – периметр треугольника.

Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)

Сумма углов треугольника равна 180 ° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).

Читайте также:  Цвет стены для проектора

Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

  • a b – c;
  • b a – c;
  • c a – b.
  • Треугольник
  • Обозначения в треугольнике
  • Виды треугольников
  • Основные свойства треугольников
  • Конгруэнтные (равные) треугольники
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Подобные треугольники
  • Признаки подобия треугольников
  • Свойства подобных треугольников
  • Подобие в прямоугольных треугольниках
  • Теорема Пифагора
  • Теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Медиана
  • Биссектриса
  • Высота треугольника
  • Срединный перпендикуляр
  • Средняя линия треугольника
  • Формулы площади треугольника, в т.ч. Герона
  • Окружности вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольников.

Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.

Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC 2 =AB 2 +AC 2 см. рис. выше.

Теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Основные линии треугольника.

Медиана.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан треугольника.

  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрисы угла треугольника

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на рис. выше AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
Читайте также:  Obovse ru для smart tv samsung

Высота треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Свойства высот треугольника

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы площади треугольника

1.Произвольный треугольник – формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) – по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. – Синус α – это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

    – Косинус α – это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

    – Тангенс α – это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

    – Котангенс α – это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    Рис. 1. Иллюстрация к примеру

    Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 – четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

    Рис. 2. Четырехугольники

    Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

    Рис. 3. Иллюстрация к примеру

    Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

    Точки называются вершинами треугольника, отрезки – его сторонами. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

    Читайте также:  Зачекинился что это значит

    Знакомство с основными свойствами треугольника

    Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла. По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

    Знакомство с видами треугольников по величине угла

    Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

    Рис. 4. Остроугольный треугольник

    Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).

    Рис. 5. Прямоугольный треугольник

    Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

    Рис. 6. Тупоугольный треугольник

    Знакомство с видами по числу равных сторон

    По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

    Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7).

    Рис. 7. Равнобедренный треугольник

    Эти стороны называются боковыми, третья сторона – основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными (рис. 8).

    Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники

    Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9).

    Рис. 9. Равносторонний треугольник

    В равностороннем треугольнике все углы равны. Равносторонние треугольники всегда остроугольные.

    Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10).

    Рис. 10. Разносторонний треугольник

    Выполнение тренировочных упражнений, деление на группы

    Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

    Рис. 11. Иллюстрация к заданию

    Сначала распределим по величине углов.

    Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

    Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

    Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

    Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

    Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

    Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

    Равносторонний треугольник: № 1.

    Решение геометрической задачи

    Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

    Рис. 12. Иллюстрация к заданию

    Можно рассуждать так.

    Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

    Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

    Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

    Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников.

    Список литературы

    1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
    2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
    3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
    4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
    5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
    6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
    7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    Домашнее задание

    1. Закончите фразы.

    а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

    б) Точки называются , отрезки – его . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

    в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

    г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

    а) прямоугольный треугольник;

    б) остроугольный треугольник;

    в) тупоугольный треугольник;

    г) равносторонний треугольник;

    д) разносторонний треугольник;

    е) равнобедренный треугольник.

    3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

    Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Оцените статью
ПК Знаток
Добавить комментарий

Adblock detector