Построение линии пересечения двух плоскостей заданных треугольниками

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L1 и L2, принадлежащих линии пересечения.

  1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ1. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1”C” и 2”3”, совпадают с фронтальным следом пл. γ1. Он обозначен на рисунке как fγ1 и расположен параллельно оси x.
  2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
  3. Находим горизонтальную проекцию точки L1 на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L1 лежит на фронтальном следе плоскости γ.
  4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ2. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L2.
  5. Через L1 и L2 проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П1 и П2.

  1. Находим точку L’1, расположенную на пересечении горизонтальных следов hα и hβ. Точка L”1 лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’1.
  2. Находим точку L”2 на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’2 лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L”2.
  3. Проводим прямые l’ и l” через соответствующие проекции точек L1 и L2, как это показано на рисунке.
Читайте также:  Сколько напряжение в usb

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

  1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3”=A”B”∩f и 5”=A”С”∩f, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
  2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N” расположена на фронтальном следе f на одной линии связи с N’.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

  • Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.
  • Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π2. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π2. С противоположной стороны от линии N”K” видимость треугольников меняется.

    Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π1. Так как (∙)6” находится выше, чем (∙)7”, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π1. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

    2.1. Условие задания

    По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников.

    2.2. Пример выполнения задания № 2

    Второе задание представляет комплекс задач по темам:

    Читайте также:  Терминал тинькофф код ответа z3

    1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, Fпостроить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF;

    2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки: построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.

    Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).

    Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:

    1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;

    2. Построить фронтальную проекцию 1222 линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC;

    3. Найти фронтальную проекцию М2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1222 с фронтальной проекцией E2 F2прямой EF;

    4. Найти горизонтальную проекцию М1 точки М с помощью линии проекционной связи;

    5. Аналогично построить вторую точку N, принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N;

    6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.


    Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками

    Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2

    Метки

    Линия пересечения плоскостей двух треугольников

    Линия пересечения плоскостей двух треугольников начинают с построения точек по координатам. (на рисунке 1 представлены построенные плоскости)

    1. Построение по координатам.

    2. Выбираете какая из сторон плоскостей будет секущей . В данном случае возьмем Е2D2 ,принадлежащая плоскости Е2D2F2, которая пересекает плоскость А2В2С2 в точка 12 и 22.

    Читайте также:  Эксель пронумеровать объединенные ячейки

    Полученные точки, проецируют на стороны плоскости, которым они принадлежат, т.е С1В1 и А1В1.

    Т.к. секущей является ЕD, то необходимо чтобы прямая 1121 пересекла секущую. В данном случае в точке К1.(Первая точка найдена)

    3. Одной точки мало будет. Повторим действия, описанные в пункте 2, но с отрезком E2F2.

    E2F2 пересекает А2В2С2 в точках 32 и 42. Проецируете на стороны А1С1 и А1В1.

    Т.к. секущей является EF, то необходимо чтобы прямая 3141 пересекла секущую, но такого нет (не хватает немного отрезка). Для этого прямая 3141 продливается пока не пересечется с E1F1. Обозначаете точку (обозначил Н1).(Но Н1 не является точкой пересечения, потому как на виде сверху принадлежит только одной плости)

    4. Соединяются точки К1 и Н1. Ближайшая точка, принадлежащая этой прямой и двум плоскостям, находится на стороне А1В1 плоскости А1В1С1, обозначаем Р1. (Вторая точка найдена)

    5. Найденные точки необходимо спроецировать на стороны плоскости, которым они принадлежат.

    5. Обводите соответсвующими линиями контуры плоскостей, воспользовавшись методом конкурирующих точек.

    Оцените статью
    ПК Знаток
    Добавить комментарий

    Adblock detector