Метод левых и правых прямоугольников

Метод прямоугольников – это, пожалуй, самый простой метод приближённого вычисления определённого интеграла. И парадокс состоит в том, что по этой причине (видимо) он довольно редко встречается на практике. Неудивительно, что данная статья появилась на свет через несколько лет после того, как я рассказал о более распространённых методах трапеции и Симпсона, где упомянул о прямоугольниках лишь вскользь. Однако на сегодняшний день раздел об интегралах практически завершён и поэтому настало время закрыть этот маленький пробел. Читаем, вникаем и смотрим видео! ….о чём? Об интегралах, конечно =)

Постановка задачи уже была озвучена на указанном выше уроке, и сейчас мы быстренько актуализируем материал:

Рассмотрим интеграл . Он неберущийся. Но с другой стороны, подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, конечная площадь существует. Как её вычислить? Приближённо. И сегодня, как вы догадываетесь – методом прямоугольников.

Разбиваем промежуток интегрирования на 5, 10, 20 или бОльшее количество равных (хотя это не обязательно) отрезков, чем больше – тем точнее будет приближение. На каждом отрезке строим прямоугольник, одна из сторон которого лежит на оси , а противоположная – пересекает график подынтегральной функции. Вычисляем площадь полученной ступенчатой фигуры, которая и будет приближённой оценкой площади криволинейной трапеции (заштрихована на 1-м рисунке).

Очевидно, что прямоугольники можно построить многими способами, но стандартно рассматривают 3 модификации:

1) метод левых прямоугольников;
2) метод правых прямоугольников;
3) метод средних прямоугольников.

Оформим дальнейшие выкладки в рамках «полноценного» задания:

Вычислить определённый интеграл приближённо:
а) методом левых прямоугольников;
б) методом правых прямоугольников.

Промежуток интегрирования разделить на равных отрезков, результаты вычислений округлять до 0,001

Решение: признАюсь сразу, я специально выбрал такое малое значение – из тех соображений, чтобы всё было видно на чертеже – за что пришлось поплатиться точностью приближений.

Вычислим шаг разбиения (длину каждого промежуточного отрезка):

Метод левых прямоугольников получил своё называние из-за того,

что высОты прямоугольников на промежуточных отрезках равны значениям функции в левых концах данных отрезков:

Ни в коем случае не забываем, что округление следует проводить до трёх знаков после запятой – это существенное требование условия, и «самодеятельность» здесь чревата пометкой «оформите задачу, как следует».

Вычислим площадь ступенчатой фигуры, которая равна сумме площадей прямоугольников:

Таким образом, площадь криволинейной трапеции: . Да, приближение чудовищно грубое (завышение хорошо видно на чертеже), но и пример, повторюсь, демонстрационный. Совершенно понятно, что, рассмотрев бОльшее количество промежуточных отрезков (измельчив разбиение), ступенчатая фигура будет гораздо больше похожа на криволинейную трапецию, и мы получим лучший результат.

При использовании «правого» метода высОты прямоугольников равны значениям функции в правых концах промежуточных отрезков:

Вычислим недостающее значение и площадь ступенчатой фигуры:

– тут, что и следовало ожидать, приближение сильно занижено:

Запишем формулы в общем виде. Если функция непрерывна на отрезке , и он разбит на равных частей: , то определённый интеграл можно вычислить приближенно по формулам:
– левых прямоугольников;
– правых прямоугольников;
(формула в следующей задаче) – средних прямоугольников,
где – шаг разбиения.

В чём их формальное различие? В первой формуле нет слагаемого , а во второй –

На практике рассчитываемые значения удобно заносить в таблицу:

а сами вычисления проводить в Экселе. И быстро, и без ошибок:

Ответ:

Наверное, вы уже поняли, в чём состоит метод средних прямоугольников:

Вычислить приближенно определенный интеграл методом прямоугольников с точностью до 0,01. Разбиение промежутка интегрирования начать с отрезков.

Решение: во-первых, обращаем внимание, что интеграл нужно вычислить с точностью до 0,01. Что подразумевает такая формулировка?

Если в предыдущей задаче требовалось прОсто округлить результаты до 3 знаков после запятой (а уж насколько они будут правдивы – не важно), то здесь найденное приближённое значение площади должно отличаться от истины не более чем на .

И во-вторых, в условии задачи не сказано, какую модификацию метода прямоугольников использовать для решения. И действительно, какую?

По умолчанию всегда используйте метод средних прямоугольников

Почему? А он при прочих равных условиях (том же самом разбиении) даёт гораздо более точное приближение. Это строго обосновано в теории, и это очень хорошо видно на чертеже:

В качестве высот прямоугольников здесь принимаются значения функции, вычисленные в серединах промежуточных отрезков, и в общем виде формула приближённых вычислений запишется следующим образом:
, где – шаг стандартного «равноотрезочного» разбиения .

Следует отметить, что формулу средних прямоугольников можно записать несколькими способами, но чтобы не разводить путаницу, я остановлюсь на единственном варианте, который вы видите выше.

Вычисления, как и в предыдущем примере, удобно свести в таблицу. Длина промежуточных отрезков, понятно, та же самая: – и очевидно, что расстояние между серединами отрезков равно этому же числу. Поскольку требуемая точность вычислений составляет , то значения нужно округлять «с запасом» – 4-5 знаками после запятой:

Вычислим площадь ступенчатой фигуры:

Давайте посмотрим, как автоматизировать этот процесс:

Таким образом, по формуле средних прямоугольников:

Как оценить точность приближения? Иными словами, насколько далёк результат от истины (площади криволинейно трапеции)? Для оценки погрешности существует специальная формула, однако, на практике её применение зачастую затруднено, и поэтому мы будем использовать «прикладной» способ:

Вычислим более точное приближение – с удвоенным количеством отрезков разбиения: . Алгоритм решения точно такой же: .

Найдём середину первого промежуточного отрезка и далее приплюсовываем к полученному значению по 0,3. Таблицу можно оформить «эконом-классом», но комментарий о том, что изменяется от 0 до 10 – всё же лучше не пропускать:

В Экселе вычисления проводятся «в один ряд» (кстати, потренируйтесь), а вот в тетради таблицу, скорее всего, придётся сделать двухэтажной (если у вас, конечно, не сверхмелкий почерк).

Вычислим суммарную площадь десяти прямоугольников:

Таким образом, более точное приближение:

Теперь находим модуль разности между двумя приближениями:

Как я уже отмечал в статье Приближённое вычисление определенных интегралов, на практике довольно часто встречается упрощённый подход: поскольку разность больше требуемой точности , то снова удваиваем количество отрезков, находим и разность , которая, очевидно, уже «уложится» в нашу точность: .

Однако существует более эффективный путь решения, основанный на применении правила Рунге, которое утверждает, что при использовании метода средних прямоугольников мы ошибаемся в оценке определённого интеграла менее чем на (! для методов правых и левых прямоугольников правило использовать нельзя!).

В нашем случае: , то есть требуемая точность на самом деле достигнута, и необходимость в вычислении отпадает.

Читайте также:  Gpu fan helper что это

Округляем наиболее точное приближение до двух знаков после запятой и записываем ответ: с точностью до 0,01

Ещё раз – что это значит? Это значит, что площадь криволинейной трапеции гарантированно отличается от найденного приближённого значения 2,59 не более чем на 0,01.

В Примере 2 урока метод трапеций и метод Симпсона я вычислил приближённое значение этого же интеграла методом трапеций. Любознательные читатели могут сравнить полученные здесь и там результаты.

Вернемся ещё к одному маленькому нюансу, который выпал из поля зрения в самом начале урока: обязательно ли в рассматриваемом задании интеграл должен быть неберущимся? Конечно, нет. Приближённые методы вычисления прекрасно работают и для берущихся определённых интегралов. Заключительный школьный, а точнее, техникумовский пример для самостоятельного решения:

Вычислить интеграл приближённо на отрезках разбиения:

1) методом левых прямоугольников;
2) методом правых прямоугольников;
3) методом средних прямоугольников.

Вычислить более точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Для каждого из трёх случаев найти абсолютную погрешность. Вычисления округлять до 4 знаков после запятой.

Не нужно пугаться такого развёрнутого условия – всё элементарно «перещёлкивается» в Экселе. Напоминаю, что абсолютная погрешность – это модуль разности между точным и приближённым значением. Кстати, обратите внимание на принципиальную разницу: если в предыдущих примерах речь шла лишь об оценке погрешности, то здесь нам будут известны конкретные значения этих погрешностей (т.к. интеграл берётся, и мы достоверно знаем 4 верных цифры после запятой).

Краткое решение и ответ уже, наверное, показались на вашем экране.

И, завершая эту небольшую статьи, хочу отметить, что иногда метод прямоугольников ошибочно называют «плохим», «неточным» и т.п. Ничего подобного! Если уж на то пошло, его корректнее назвать «медленным» методом. Иными словами, чтобы достигнуть определённой точности – нужно рассмотреть бОльшее количество отрезков разбиения по сравнению с более эффективными методом трапеций и ещё более «быстрым» методом Симпсона.

Которые я и предлагаю вам изучить!

Пример 3: Решение: вычислим шаг разбиения:
Заполним расчётную таблицу:

Вычислим интеграл приближённо методом:
1) левых прямоугольников:
;
2) правых прямоугольников:
;
3) средних прямоугольников:
.

Вычислим интеграл более точно по формуле Ньютона-Лейбница:

и соответствующие абсолютные погрешности вычислений:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

Не всегда имеется возможность вычисления интегралов по формуле Ньютона-Лейбница. Не все подынтегральные функции имеют первообразные элементарных функций, поэтому нахождение точного числа становится нереальным. При решении таких задач не всегда необходимо получать на выходе точные ответы. Существует понятие приближенного значения интеграла, которое задается методом числового интегрирования типа метода прямоугольников, трапеций, Симпсона и другие.

Данная статья посвящена именно этому разделу с получением приближенных значений.

Будет определена суть метода Симпсона, получим формулу прямоугольников и оценки абсолютной погрешности, метод правых и левых треугольников. На заключительном этапе закрепим знания при помощи решения задач с подробным объяснением.

Суть метода прямоугольников

Если функция y = f ( x ) имеет непрерывность на отрезке [ a ; b ] и необходимо вычислить значение интеграла ∫ a b f ( x ) d x .

Необходимо воспользоваться понятием неопределенного интеграла. Тогда следует разбить отрезок [ a ; b ] на количество n частей x i – 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . . , n , где a = x 0 x 1 x 2 . . . x n – 1 x n = b . В промежутке отрезка x i – 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n выберем точку со значением ζ i . Из определения имеем, что существует определенный тип интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка, который уже разбили. Это выражается формулой λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n ( x i – x i – 1 ) → 0 , тогда получаем, что любая из таких интегральных сумм – приближенное значение интеграла ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n f ( ζ i ) · ( x i – x i – 1 ) .

Суть метода прямоугольников выражается в том, что приближенное значение считается интегральной суммой.

Метод средних прямоугольников

Если разбить интегрируемый отрезок [ a ; b ] на одинаковые части точкой h , то получим a = x 0 , x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , . . . , x – 1 = x 0 + ( n – 1 ) h , x n = x 0 + n h = b , то есть h = x i – x i – 1 = b – a n , i = 1 , 2 , . . . , n . Серединами точек ζ i выбираются элементарные отрезки x i – 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , значит ζ i = x i – 1 + h 2 , i = 1 , 2 , . . . , n .

Тогда приближенное значение ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n f ( ζ i ) · ( x i – x i – 1 ) записывается таким образом ∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f ( ζ i ) x i – 1 + h 2 . Данная формула называется формулой метода прямоугольников.

Такое название метод получает из-за характера выбора точек ζ i , где шаг разбиения отрезка берется за h = b – a n .

Рассмотрим на приведенном ниже рисунке данный метод.

Чертеж явно показывает, что приближение к кусочной ступенчатой функции

y = f x 0 + h 2 , x ∈ [ x 0 ; x 1 ) f x 1 + h 2 , x ∈ [ x 1 ; x 2 ) . . . f x n – 1 + h 2 , x ∈ [ x n – 1 ; x n ] происходит на всем пределе интегрирования.

С геометрической стороны мы имеем, что неотрицательная функция y = f ( x ) на имеющемся отрезке [ a ; b ] имеет точное значение определенного интеграла и выглядит как криволинейная трапеция, площадь которой необходимо найти. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников

Для оценки абсолютной погрешности необходимо выполнить ее оценку на заданном интервале. То есть следует найти сумму абсолютных погрешностей каждого интервала. Каждый отрезок x i – 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n имеет приближенное равенство ∫ x i – 1 x i f ( x ) d x ≈ f x i – 1 + h 2 · h = f x i – 1 + h 2 · ( x i – x i – 1 ) . Абсолютная погрешность данного метода треугольников δ i , принадлежащей отрезку i , вычисляется как разность точного и приближенного определения интеграла . Имеем, что δ i = ∫ x i – 1 x i f ( x ) d x – f x i – 1 + h 2 · x i – x i – 1 . Получаем, что f x i – 1 + h 2 является некоторым числом, а x i – x i – 1 = ∫ x i – 1 x i d x , тогда выражение f x i – 1 + h 2 · x i – x i – 1 по 4 свойству определения интегралов записывается в форме f x i – 1 + h 2 · x i – x i – 1 = ∫ x – 1 x f x i – 1 + h 2 d x . Отсюда получаем, что отрезок i имеет абсолютную погрешность вида

δ i = ∫ x i – 1 x i f ( x ) d x – f x i – 1 + h 2 · x i – x i – 1 = = ∫ x i – 1 x i f ( x ) d x – ∫ x i – 1 x i x i – 1 + h 2 d x = ∫ x i – 1 x i f ( x ) = – f x i – 1 + h 2 d x

Если взять, что функция y = f ( x ) имеет производные второго порядка в точке x i – 1 + h 2 и ее окрестностях, тогда y = f ( x ) раскладывается в ряд Тейлора по степеням x – x i – 1 + h 2 с остаточным членом в форме разложения по Лагранжу. Получаем, что

f ( x ) = f x i – 1 + h 2 + f ‘ x i – 1 + h 2 · x – x i – 1 + h 2 + + f ” ( ε i ) x – x i – 1 + h 2 2 2 ⇔ ⇔ f ( x ) = f ( x i – 1 + h 2 ) = f ‘ x i – 1 + h 2 · x – x i – 1 + h 2 + + f ” ( ε i ) x – x i – 1 + h 2 2 2

Исходя из свойства определенного интеграла, равенство может интегрироваться почленно. Тогда получим, что

∫ x i – 1 x i f ( x ) – f x i – 1 + h 2 d x = ∫ x i – 1 x i f ‘ x i – 1 + h 2 · x – x i – 1 + h 2 d x + + ∫ x i – 1 x i f ” ε i · x – x i – 1 + h 2 2 2 d x = = f ‘ x i – 1 + h 2 · x – x i – 1 + h 2 2 2 x i – 1 x i + f ” ε i · x – x i – 1 + h 2 3 6 x i – 1 x i = = f ‘ x i – 1 + h 2 · x i – h 2 2 2 – x i – 1 – x i – 1 + h 2 2 2 + + f ” ε i · x i – h 2 3 6 – x i – 1 – x i – 1 + h 2 3 6 = = f ‘ x i – 1 + h 2 · h 2 8 – h 2 8 + f ” ( ε i ) · h 3 48 + h 3 48 = f ” ε i · h 3 24

Читайте также:  Asus vivobook pro 17 подсветка клавиатуры

где имеем ε i ∈ x i – 1 ; x i .

Отсюда получаем, что δ i = ∫ x i – 1 x i f ( x ) – f x i – 1 + h 2 d x = f ” ε i · h 3 24 .

Абсолютная погрешность формулы прямоугольников отрезка [ a ; b ] равняется сумме погрешностей каждого элементарного интервала. Имеем, что

δ n = ∑ i = 1 n ∫ x i – 1 x i f ( x ) – f x i – 1 + h 2 d x и δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f ” ( x ) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f ” ( x ) = b – a 3 24 n 2 .

Неравенство является оценкой абсолютной погрешности метода прямоугольников.

Метод левых прямоугольников и метод правых прямоугольников

Для модификации метода рассмотрим формулы.

∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 0 n – 1 f ( x i ) является формулой левых треугольников.

∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f ( x i ) является формулой правых треугольников.

Рассмотрим на примере рисунка, приведенного ниже.

Отличием метода средних прямоугольников считается выбор точек не по центру, а на левой и правой границах данных элементарных отрезков.

Такая абсолютная погрешность методов левых и правых треугольников можно записать в виде

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ( x ) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ( x ) · ( b – a ) 2 2 n

Примеры применения метода прямоугольников при приближенном вычислении определенных интегралов

Необходимо рассмотреть решение примеров, где нужно вычислять примерное значение имеющегося определенного интеграла при помощи метода прямоугольников. Рассматривают два типа решения заданий. Суть первого случая – задание количества интервалов для разбивания отрезка интегрирования. Суть второго заключается в наличии допустимой абсолютной погрешности.

Формулировки задач выглядят следующим образом:

  • произвести приближенное вычисление определенного интеграла при помощи метода прямоугольников, разбивая на nколичество отрезков интегрирования;
  • найти приближенное значение определенного интеграла методом прямоугольников с точностью до одной сотой.

Рассмотрим решения в обоих случаях.

В качестве примера выбрали задания, которые поддаются преобразованию для нахождения их первообразных. Тогда появляется возможность вычисления точного значения определенного интеграла и сравнения с приближенным значением при помощи метода прямоугольников.

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x при помощи метода прямоугольников, разбивая отрезок интегрирования на 10 частей.

Из условия имеем, что a = 4 , b = 9 , n = 10 , f ( x ) = x 2 sin x 10 . Для применения ∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i – 1 + h 2 необходимо вычислить размерность шага h и значение функции f ( x ) = x 2 sin x 10 в точках x i – 1 + h 2 , i = 1 , 2 , . . . , 10 .

Вычисляем значение шага и получаем, что

h = b – a n = 9 – 4 10 = 0 . 5 .

Потому как x i – 1 = a + ( i – 1 ) · h , i = 1 , . . . , 10 , тогда x i – 1 + h 2 = a + ( i – 1 ) · h + h 2 = a + i – 0 . 5 · h , i = 1 , . . . , 10 .

Так как i = 1 , то получаем x i – 1 + h 2 = x 0 + h 2 = a + ( i – 0 . 5 ) · h = 4 + ( 1 – 0 . 5 ) · 0 . 5 = 4 . 25 .

После чего необходимо найти значение функции

f x i – 1 + h 2 = f x 0 + h 2 = f ( 4 . 25 ) = 4 . 25 2 sin ( 4 . 25 ) 10 ≈ – 1 . 616574

При i = 2 получаем x i – 1 + h 2 = x 1 + h 2 = a + i – 0 . 5 · h = 4 + ( 2 – 0 . 5 ) · 0 . 5 = 4 . 75 .

Нахождение соответствующего значения функции получает вид

f x i – 1 + h 2 = f x 1 + h 2 = f ( 4 . 75 ) = 4 . 75 2 sin ( 4 . 75 ) 10 ≈ – 2 . 254654

Вычисления производятся до i = 10 .

Представим эти данные в таблице, приведенной ниже.

i 1 2 3 4 5
x i – 1 + h 2 4 . 25 4 . 75 5 . 25 5 . 75 6 . 25
f x i – 1 + h 2 – 1 . 616574 – 2 . 254654 – 2 . 367438 – 1 . 680497 – 0 . 129606
i 6 7 8 9 10
x i – 1 + h 2 6 . 75 7 . 25 7 . 75 8 . 25 8 . 75
f x i – 1 + h 2 2 . 050513 4 . 326318 5 . 973808 6 . 279474 4 . 783042

Значения функции необходимо подставить в формулу прямоугольников. Тогда получаем, что

∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i – 1 + h 2 = = 0 . 5 · – 1 . 616574 – 2 . 25654 – 2 . 367438 – 1 . 680497 – 0 . 129606 + + 2 . 050513 + 4 . 326318 + 5 . 973808 + 6 . 279474 + 4 . 783042 = = 7 . 682193

Исходный интеграл можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Получаем, что

∫ 4 9 x 2 · sin x 10 d x = – 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x 4 9 = = 7 5 cos 4 – 4 5 sin 4 – 79 10 cos 9 + 9 5 sin 9 ≈ 7 . 630083

Находим первообразную выражения – 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x соответствующую функции f ( x ) = x 2 sin x 10 . Нахождение производится методом интегрирования по частям.

Отсюда видно, что определенный интеграл отличается от значения, полученном при решении методом прямоугольников, где n = 10 , на 6 долей единицы. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Вычислить приближенного значение определенного интеграла ∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x при помощи метода левых и правых прямоугольников с точностью до одной сотой.

Из условия мы имеем, что a = 1 , b = 2 и f ( x ) = – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 .

Для применения формулы правых и левых прямоугольников нужно знать размерность шага h , а для его вычисления разбиваем отрезок интегрирования на n отрезков. По условию имеем, что точность должна быть до 0 , 01 , тогда нахождение n возможно при помощи оценки абсолютной погрешности методов левых и правых прямоугольников.

Известно, что δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ( x ) · ( b – a ) 2 2 n . Для достижения необходимой степени точности необходимо найти такое значение n , для которого неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ( x ) · ( b – a ) 2 2 n ≤ 0 . 01 будет выполнено.

Найдем наибольшее значение модуля первой производной, то есть значение m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ( x ) подынтегральной функции f ( x ) = – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 , определенной на отрезке [ 1 ; 2 ] . В нашем случае необходимо выполнить вычисления:

f ‘ ( x ) = – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ‘ = – 0 . 09 x 2 + 0 . 26

Парабола является графиком подынтегральной функции с ветвями, направленными вниз, определенная на отрезке [ 1 ; 2 ] , причем с монотонно убывающим графиком. Необходимо произвести вычисление модулей значений производных на концах отрезков, а из них выбрать наибольшее значение. Получаем, что

f ‘ ( 1 ) = – 0 . 09 · 1 2 + 0 . 26 = 0 . 17 f ‘ ( 2 ) = – 0 . 09 · 2 2 + 0 . 26 = 0 . 1 → m a x x ∈ [ 1 ; 2 ] f ‘ ( x ) = 0 . 17

Решение сложных подынтегральных функций подразумевает обращение к разделу наибольше и наименьшее значение функции.

Тогда получаем, что наибольшее значение функции имеет вид:

m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ( x ) · ( b – a ) 2 2 n ≤ 0 . 01 ⇔ ⇔ 0 . 17 · ( 2 – 1 ) 2 2 n ≤ 0 . 01 ⇔ 0 . 085 n ≤ 0 . 01 ⇔ n ≥ 8 . 5

Дробность числа n исключается, так как n является натуральным числом. Чтобы прийти к точности 0 . 01 , используя метод правых и левых прямоугольников, не обходимо выбирать любое значение n . Для четкости расчетов возьмем n = 10 .

Тогда формула левых прямоугольников примет вид ∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 0 n – 1 f ( x i ) , а правых – ∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f ( x i ) . Для применения их на практике необходимо найти значение размерности шага h и f ( x i ) , i = 0 , 1 , . . . , n , где n = 10 .

h = b – a n = 2 – 1 10 = 0 . 1

Определение точек отрезка [ a ; b ] производится с помощью x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n .

При i = 0 , получаем x i = x 0 = a + i · h = 1 + 0 · 0 . 1 = 1 и f ( x i ) = f ( x 0 ) = f ( 1 ) = – 0 . 03 · 1 3 + 0 . 26 · 1 – 0 . 26 = – 0 . 03 .

При i = 1 , получаем x i = x 1 = a + i · h = 1 + 1 · 0 . 1 = 1 . 1 и f ( x i ) = f ( x 1 ) = f ( 1 . 1 ) = – 0 . 03 · ( 1 . 1 ) 3 + 0 . 26 · ( 1 . 1 ) – 0 . 26 = – 0 . 01393 .

Вычисления производятся до i = 10 .

Вычисления необходимо представить в таблице, приведенной ниже.

i 1 2 3 4 5
x i 1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5
f ( x i ) – 0 . 03 – 0 . 01393 0 . 00016 0 . 01209 0 . 02168 0 . 02875
i 6 7 8 9 10
x i 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2
f ( x i ) 0 . 03312 0 . 03461 0 . 03304 0 . 02823 0 . 02

Подставим формулу левых треугольников

∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x ≈ h · ∑ i = 0 n – 1 f ( x i ) = = 0 . 1 · – 0 . 03 – 0 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + + 0 . 02875 + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 = = 0 . 014775

Подставляем в формулу правых треугольников

∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f ( x i ) = = 0 . 1 · – 0 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + 0 . 02875 + + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 + 0 . 02 = 0 . 019775

Произведем вычисление по формуле Ньютона-Лейбница:

∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x = = – 0 . 03 x 4 4 + 0 . 13 x 2 – 0 . 26 x 1 2 = 0 . 0175

Читайте также:  Тестовый режим windows 7 как отключить 7601

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание

Нахождение наибольшего значения модуля первой производной является трудоемкой работой, поэтому можно исключить использование неравенства для оценивания абсолютной погрешности и методов численного интегрирования. Разрешено применять схему.

Берем значение n = 5 для вычисления приближенного значения интеграла. Необходимо удвоить количество отрезков интегрирования, тогда n = 10 , после чего производится вычисление примерного значения. необходимо найти разность этих значений при n = 5 и n = 10 . Когда разность не соответствует требуемой точности, то приближенным значением считается n = 10 с округлением до десятка.

Когда погрешность превышает необходимую точность, то производится удваивание n и сравнивание приближенных значений. Вычисления производятся до тех пор, пока необходимая точность не будет достигнута.

Для средних прямоугольников выполняются аналогичные действия, но вычисления на каждом шаге требуют разности полученных приближенных значений интеграла для n и 2 n . Такой способ вычисления называется правилом Рунге.

Произведем вычисление интегралов с точностью до одной тысячной при помощи метода левых прямоугольников.

При n = 5 получаем, что ∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x ≈ 0 . 0116 , а при n = 10 – ∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x ≈ 0 . 014775 . Так как имеем, что 0 . 0116 – 0 . 014775 = 0 . 003175 > 0 . 001 , возьмем n = 20 . Получаем, что ∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x ≈ 0 . 01619375 . Имеем 0 . 014775 – 0 . 01619375 = 0 . 00141875 > 0 . 001 , возьмем значение n = 40 , тогда получим ∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x ≈ 0 . 01686093 . Имеем, что 0 . 1619375 – 0 . 01686093 = 0 . 00066718 0 . 001 , тогда после округления значения проверим, что ∫ 1 2 ( – 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x – 0 . 26 ) d x равняется значению 0 , 017 с погрешностью 0 , 001 . Из оценок абсолютных погрешностей видно, что данный метод дает максимальную точность в отличие от метода левых и правых координат для заданного n . Отдается предпочтение методу средних прямоугольников.

Непрерывные подынтегральные функции при бесконечном разделении на отрезки данное приближенно число стремится к точному. Чаще всего такой метод выполняется при помощи специальных программ на компьютере. Поэтому чем больше значение n , тем больше вычислительная погрешность.

Для наиболее точного вычисления необходимо выполнять точные промежуточные действия, желательно с точностью до 0 , 0001 .

Итоги

Для вычисления неопределенного интеграла методом прямоугольников следует применять формулу такого вида ∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f ( ζ i ) x i – 1 + h 2 и оценивается абсолютная погрешность с помощью δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ‘ ( x ) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ‘ ( x ) · b – a 3 24 n 2 .

Для решения с помощью методов правых и левых прямоугольников применяют формулы, имеющие вид, ∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 0 n – 1 f ( x i ) и ∫ a b f ( x ) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f ( x i ) . Абсолютная погрешность оценивается при помощи формулы вида δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ( x ) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f ‘ ( x ) · b – a 2 2 n .

Перейдем к модификациям метода прямоугольников.

– это формула метода левых прямоугольников.

– это формула метода правых прямоугольников.

Отличие от метода средних прямоугольников заключается в выборе точек не в середине, а на левой и правой границах элементарных отрезков соответственно.

Абсолютная погрешность методов левых и правых прямоугольников оценивается как .

234567891011121314151617 Program pravii; <Метод правых прямоугольников>uses crt;var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;function f(x:real):real;begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;beginclrscr;write(‘Введите нижний предел интегрирования ‘); readln(a);write(‘Введите верхний предел интегрирования ‘); readln(b);write(‘Введите количество отрезков ‘); readln(n);h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;for i:=1 to n dobegin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end; writeln(‘Интеграл равен ‘,s:12:10); readln;

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формуле левых прямоугольников.

2. В ячейку D6 ввести текст y1,…,yn.

3. Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D9:D17

4. Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D7:D17).

5. Ввести в ячейку D19 формулу =B4*D18.

6. Ввести в ячейку D20 текст правых.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Mathcad, необходимо выполнить следующие действия:

1. Ввести в поле ввода в одной строчке через какое-либо расстояние следующие выражения: a:=0, b:=3.2, n:=10.

2. В следующей строчке ввести формулу с клавиатуры h:=(b-a)/n (обратить внимание на то, что в поле ввода данное выражение сразу преобразуется к стандартному виду).

3. Рядом вывести значение данного выражения, для этого набрать с клавиатуры: h=.

4. Ниже ввести формулу для вычисления подинтегральной функции, для этого с клавиатуры набрать f(x):=, затем открыть панель инструментов "Арифметика", либо воспользовавшись значком , либо следующим способом:

После этого, на панели инструментов "Арифметика" выбрать "Квадратный корень": , затем в появившемся темном квадрате ввести выражение с клавиатуры x^4-x^3+8, перемещение курсора осуществляется стрелками на клавиатуре (обратить внимание на то, что в поле ввода данное выражение сразу преобразуется к стандартному виду).

5. Ниже ввести выражение I1:=0.

6. Ниже ввести выражение pr_p(a,b,n,h,I1):=.

7. Затем выбрать панель инструментов "Программирование" (либо: "Вид"-"Панели инструментов"-"Программирование", либо: значок ).

8. На панели инструментов "Программирование" добавить строку программы: , затем поставить курсор в первый темный прямоугольник и на панели инструментов "Программирование" выбрать "for".

9. В полученной строке, после слова for, встать курсором в первый из прямоугольников и набрать i.

10. Затем выбрать панель инструментов "Матрицы" (либо: "Вид"-"Панели инструментов"-"Матрицы", либо: значок ).

11. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник и на панели инструментов "Матрицы" нажать: , где набрать в двух появившихся прямоугольниках соответственно: 1 и n.

12. Поставить курсор в нижестоящий темный прямоугольник и дважды добавить строку программы.

13. После этого вернуть курсор в первый из появившихся прямоугольников и набрать x1, затем нажать "Локальное присвоение" на панели "Программирование": и после этого набрать a+h.

14. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник, где набрать I1 присвоить (кнопка "Локальное присвоение") I1+f(x1).

15. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник, где набрать a присвоить (кнопка "Локальное присвоение") x1.

16. В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы, где в первом из полученных прямоугольников набрать I1 присвоить (кнопка "Локальное присвоение") I1*h (обратить внимание, что знак умножения в поле ввода автоматически превращается в стандартный).

17. В последнем темном прямоугольнике набрать I1.

18. Ниже ввести pr_p(a,b,n,h,I1) и нажать знак =.

19. Для того, чтобы отформатировать ответ, нужно дважды щелкнуть по полученному числу и указать число десятичный мест – 5.

В итоге получаем:

Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.

Метод прямоугольников безусловно очень удобен при вычислении определенного интеграла. Работа была очень увлекательна и познавательна.

Оцените статью
ПК Знаток
Добавить комментарий

Adblock detector