Формула эйлера для гармонического ряда

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю однако гармонический ряд расходится … Большой Энциклопедический словарь

гармонический ряд — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN harmonic series … Справочник технического переводчика

гармонический ряд — числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю, однако гармонический ряд расходится. * * * ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД, числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю, однако гармонический ряд расходится … Энциклопедический словарь

гармонический ряд — harmoninė eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. harmonic series vok. harmonische Reihe, f rus. гармонический ряд, m pranc. série harmonique, f … Fizikos terminų žodynas

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд Каждый член Г. р. (начиная со второго) является гармоническим средним двух соседних (отсюда назв. Г. р.). Г. р. расходится (Г. Лейбниц, G. Leibniz, 1673), и его частные суммы растут как In п(Л. Эйлер, L. Euler, 1740): существует… … Математическая энциклопедия

Гармонический ряд — числовой Ряд Каждый член Г. р. (начиная со 2 го) является гармоническим средним (См. Гармоническое среднее) между двумя соседними (отсюда название Г. р.). Члены Г. р. стремятся к нулю, однако Г. р. расходится (Г. Лейбниц … Большая советская энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд 1+1/2 + 1/3+. +1/п+. Члены Г. р. стремятся к нулю, однако Г. р. расходится … Естествознание. Энциклопедический словарь

ГАРМОНИЧЕСКИЙ — (от гр. harmonia созвучия, согласие). Соответствующей законам гармонии; благозвучный, созвучный, согласный, соразмерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГАРМОНИЧЕСКИЙ благозвучный, согласный.… … Словарь иностранных слов русского языка

ГАРМОНИЧЕСКИЙ — ГАРМОНИЧЕСКИЙ, гармоническая, гармоническое (книжн.). 1. прил. к гармония в 1 знач.; основанный на принципах гармонии (муз.). Гармонический стиль в музыке. Гармоническое построение. 2. (в качестве кратк. употр. гармоничен, гармонична, гармонично) … Толковый словарь Ушакова

ряд — а (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряде и в ряду; мн. ряды; м. 1. предл.: в ряду. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в одну линию. Ровный ряд зубов. Светящиеся ряды окошек. Сажать свёклу рядами.… … Энциклопедический словарь

Читайте также:  Что значит пароль должен содержать символы

3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin х в виде бесконечного произведения

Ряды, члены которых являются простыми комбинациями целых чисел, особенно интересны. В качестве примера рассмотрим "гармонический ряд"

отличающийся от известного нам ряда, сумма которого равна ln 2, только знаками членов, стоящих на четных местах.

Поставить вопрос, сходится ли этот ряд, все равно, что спросить себя, стремится ли к конечному пределу последовательность чисел

Несмотря на то что по мере продвижения по ряду (16) члены его приближаются к 0, легко увидеть, что ряд этот не сходится. Действительно, взяв достаточное количество членов, мы можем превысить любое положительное число; таким образом, sn возрастает беспредельно, и, значит, ряд (16) "расходится к бесконечности". Чтобы в этом убедиться,заметим, что

Таким образом, например, частные суммы s2 m превышают 100, если только m≥200.

Если гармонический ряд расходится, то, с другой стороны, можно доказать, что ряд

сходится при всяком значении s, большем, чем 1, и сумма его, рассматриваемая как функция переменного s, есть так называемая дзета-функция

Эта функция, очевидно, определена только при s>1.

Существует важное соотношение между дзета-функцией и простыми числами, которое мы выведем, исходя из свойств геометрической прогрессии. Пусть р есть какое-нибудь простое число; тогда при s≥1

Перемножим такого рода равенства, написанные для всех простых чисел р = 2, 3, 5, 7, . (не задаваясь вопросом о законности такой операции). В левой части мы получим "бесконечное произведение"

в то же время в правой части мы получаем ряд

в силу того обстоятельства, что каждое целое число, большее, чем 1, может быть единственным образом представлено как произведение степеней различных простых чисел. Итак, нам удалось выразить дзета-функцию в виде произведения

Если бы существовало только конечное число простых чисел, скажем, p1, p2, p3, . pr, то произведение в правой части формулы (21) было бы обыкновенным конечным произведением и имело бы поэтому конечное значение даже при s = 1. Однако мы видели, что дзета-ряд при s = 1

расходится, стремясь к бесконечности. Это рассуждение, которое легко превратить в строгое доказательство, показывает, что существует бесконечное множество простых чисел. Конечно, это доказательство гораздо запутаннее и искусственнее, чем данное Евклидом (см. стр. 46). Но оно столь же привлекательно, как трудный подъем на вершину горы, которая могла бы быть достигнута с другой стороны по комфортабельной дороге.

Читайте также:  Radeon pro wx 3100

С помощью бесконечных произведений, подобных тому, которое дается формулой (21), функции иногда выражаются так же удобно, как и с помощью бесконечных рядов.

Другое бесконечное произведение, открытие которого представляет собой еще одно из достижений Эйлера, относится к тригонометрической функции sin х. Чтобы понять найденную Эйлером формулу, мы начнем со следующего замечания относительно многочленов. Если

есть многочлен степени n, имеющий n различных нулей х1, . хn, то, как известно из алгебры, функция f (x) может быть разложена на линейные множители

(см. стр. 129). Вынося за скобку произведение x1x2. xn, мы можем написать

где С – постоянная, равная а, что легко установить, положив х = 0. Далее возникает вопрос: возможно ли аналогичное разложение уже не для полиномов, а для более сложных функций f(x)? (В общем случае ответ не может быть утвердительным, в чем легко убедиться на примере показательной функции, которая вовсе не имеет нулей, поскольку е x ≠0 при любых значениях х.) Эйлер открыл, что для функции синус такое разложение возможно. Чтобы написать формулу в ее простейшем виде, мы рассмотрим не sin x, a sin πx. Последняя функция имеет нулями точки π = 0, ±1, ±2, ±3, . так как sin πn = 0 при всех целых n; иных же нулей она не имеет никаких. Формула Эйлера устанавливает соотношение

Стоящее справа бесконечное произведение сходится при всех значениях х и является одной из красивейших формул математики. При формула дает

Если мы напишем

то после небольших преобразований получим произведение Уоллиса

упомянутое на стр. 333.

За доказательствами всех этих соотношений мы вынуждены направить читателя к руководствам по анализу (см. также стр. 549-550).

Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда. Теоретико-числовые свойства частичных сумм Для любых n>1:,

где — постоянная Эйлера — Маскерони, а — натуральный логарифм.

При значение , следовательно, для больших n:

— формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера
, (%)
2,93 2,88 1,7
3,82 3,80 0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

Читайте также:  Bitrix изменить стоимость доставки

, где — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Теоретико-числовые свойства частичных сумм

Сходимость ряда

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

частичная сумма которого, очевидно, равна:

Предполагалось до 7 августа 2010 года, что при стремлении n к бесконечности Sn также стремится к бесконечности, оставаясь меньше соответствующего натурального числа.

Предполагалось также Гармонический ряд расходится очень медленно: чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда.

Сходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с числами натурального ряда: очевидно, что частичная сумма каждых n первых членов не может превышать такое же натуральное число n, которое равно числу членов гармонического ряда.

Рассмотрим известные доказательства не сходимости гармонического ряда

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые таким образом, чтобы сумма слагаемых в скобках была меньше 1/2. При этом получается ряд 1+1/2+1/2+. +1/2 +. :

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему

В приведенном доказательстве проигнорирован очевидный факт: количество членов гармонического ряда строго равно количеству натуральных чисел (по определению). А при группировке членов ряда, для того чтобы получить 1/2 каждый раз в скобки объединялось все больше и большее количество членов гармонического ряда: 1, 2, 4, . т.е. 2^n соответственно.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 – | 7230 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *