Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Шаг 1 Решение однородного уравнения
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные – умножаем на dx , делим на y :
Интегрируем:
Интеграл по y – табличный:
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :
Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2):
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные:
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.
Общее решение уравнения:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-07-2012 Изменено: 01-03-2015
Общий метод решения уравнения Лагранжа
Предположим, что некоторое дифференциальное уравнение первого порядка $Fleft(x,y,y’
ight)=0$, не разрешенное относительно производной, удалось разрешить относительно $y$, то есть представить в виде $y=fleft(x,y’
ight)$.
Частным случаем дифференциального уравнения такого вида является уравнение Лагранжа $y=xcdot phi left(y’
ight)+psi left(y’
ight)$, в котором $phi left(y’
ight)
e y’$.
Дифференциальное уравнение Лагранжа решают методом введения параметра $y’=p$.
При этом исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде $y=xcdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$.
Выполнив дифференцирование по $x$ с учетом $dy=pcdot dx$, после несложных алгебраических преобразований получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции $xleft(p
ight)$ и её производной $frac $, а именно: $frac -frac
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Это уравнение решается известным методом, в результате чего получим его общее решение $x=Fleft(p,C
ight)$.
Подставив полученный результат в соотношение $y=xcdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$, получим $y=Fleft(p,C
ight)cdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$.
Дополнительные частные либо особые решения уравнения Лагранжа могут быть получены в результате нахождения действительных корней уравнения $p-phi left(p
ight)=0$ и подстановки их в $y=xcdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$.
Решение типичных задач
Решить дифференциальное уравнение $y=-xcdot y’+y’^ <2>$.
Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $phi left(y’
ight)=-y’$ и $psi left(y’
ight)=y’^ <2>$.
Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=-xcdot p+p^ <2>$, а также $phi left(p
ight)=-p$ и $psi left(p
ight)=p^ <2>$.
Теперь получим уравнение вида $frac -frac
ight)=-1$; $psi ‘left(p
ight)=2cdot p$; $p-phi left(p
ight)=p-left(-p
ight)=2cdot p$.
Уравнение приобретает вид: $frac +frac<1> <2cdot p>cdot x=1$.
Применяем алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:
- Стандартный вид $frac+frac<1><2cdot p>cdot x=1$, где $Pleft(p
ight)=frac<1><2cdot p>$, $Qleft(p
ight)=1$. - Вычисляем интеграл $I_ <1>=int Pleft(p
ight)cdot dp =int frac<1><2cdot p>cdot dp =frac<1><2>cdot ln left|p
ight|$.
Записываем частное решение $vleft(p
ight)=e^<-frac<1> <2>cdot ln left|p
ight|> $, выполняем упрощающие преобразования: $ln vleft(p
ight)=-frac<1> <2>cdot ln left|p
ight|$; $ln left(vleft(p
ight)
ight)^ <2>+ln left|p
ight|=0$; $left(vleft(p
ight)
ight)^ <2>cdot left|p
ight|=1$.
Выбираем для $vleft(p > $. cdot dp =frac<2><3>cdot p^ > =frac<2><3>cdot p+frac > $. Подставляем полученный результат в $y=xcdot phi left(p > $. Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $left > > \ <1> <3>cdot p^ <2>-Ccdot sqrt > end Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-phi left(p Подставляем $p=0$ в $y=-xcdot p+p^ <2>$ и получаем $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=frac<1> <3>cdot p^ Задай вопрос специалистам и получи Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем: 1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*. 2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x). 3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x). Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в примерах решения линейных дифференциальных уравнений методом Бернулли , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают. 1) y’=3x-y/x Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное). y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану. 1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем: 2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда Полученные выражения подставляем в условие (I): Интегрируем обе части уравнения: здесь С — уже некоторая новая константа. 3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли. 2) y’+y=cosx. Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо. 1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем: Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С: Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную. 2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии Полученные выражения y и y’ подставляем в условие: Умножим обе части уравнения на Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем: Здесь С уже не функция, а обычная константа. 3) В общее решение однородного уравнения подставляем найденную функцию С(x): Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли. Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения уравнений Бернулли . y’x+y=-xy². Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II). 1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем: 2) В полученном общем решении будем считать С не константой, а некоторой функций от x. При этом условии Подставляем полученные выражения в условие (II): Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x: Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С. 3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x): Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли. Примеры для самопроверки: 1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем: Отсюда находим y: 2) В полученном решении С будем считать не константой, а функцией от x: C=C(x). Тогда Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C'(x)): Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям: Теперь подставляем u, du и v в формулу: 3) Теперь подставляем в решение однородного Отсюда получаем решение неоднородного уравнения: 2. Поделив обе части данного уравнения на x, приходим к уравнению Это — уравнение Бернулли. 1) Решаем однородное уравнение y’+2y/x=0, 2) В этом решении заменяем константу С на функцию от x С(x), тогда (для удобства пишем вместо С(x) просто С, но помним, что С здесь — функция от x). Теперь подставляем выражения для y и y’ в условие: Интегрируем обе части уравнения: Если ввести обозначение 3С1=С, то получим 3) В условие y=C(x)/x² подставляем найденное С(x):
ight)$ простейший ненулевой вариант: $vleft(p
ight)=frac<1>
ight)=frac<2><3>cdot p^
ight)cdot frac<1>
ight)+psi left(p
ight)$. Получаем: $y=-left(frac<2> <3>cdot p+frac
ight)cdot p+p^ <2>=frac<1> <3>cdot p^ <2>-Ccdot sqrt
ight. $.
ight)=0$: получаем $p=0$.
ответ уже через 15 минут!
