Что значит однородное уравнение

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое "Однородное уравнение" в других словарях:

однородное уравнение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN homogeneous equation … Справочник технического переводчика

Однородное уравнение — Однородным уравнением n й степени, называется уравнение вида: Такое уравнение после исключения отдельно рассматриваемого случая и деления уравнения на сводится с помощью замены к алгебраическому уравнению … Википедия

Уравнение Коши — Эйлера — В математике ( дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с… … Википедия

Уравнение Коши – Эйлера — В математике ( дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с… … Википедия

Уравнение теплопроводности — Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки. Уравнение теплопроводности важное уравнение в частных производных, которое описывает распространение тепла в заданной… … Википедия

Уравнение Коши — В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному… … Википедия

Однородное дифференциальное уравнение — Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений. 1 Обыкновенное уравнение первого порядка называется однородным относительно x и y, если функция является однородной степени 0: . Однородную функцию можно представить как функцию от … Википедия

Уравнение диффузии — Механика сплошных сред … Википедия

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обыкновенное дифференциальное уравнение вида: где искомая функция, её тая производная, фиксированные числа … Википедия

Обыкновенное дифференциальное уравнение — Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) это дифференциальное уравнение вида где неизвестная функция (возможно, вектор функция, тогда , как правило, тоже вектор функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом… … Википедия

Определение

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение однородным

Делаем замену y → ty , x → tx .

Делим на t 2 .

.
Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.

Метод решения однородного дифференциального уравнения

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)
Делаем подстановку:
y = ux ,
где u – функция от x . Дифференцируем по x :
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение (i).
,
,
(ii) .
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f ( u ) – u ) .

При f ( u ) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:

Интегрируем:

Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:

Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда

Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:

Далее следует рассмотреть случай f ( u ) – u = 0 .
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).

Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g ( x, y ) , то дальнейшие преобразования справедливы при g ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g ( x, y ) = 0 .

Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка

Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ .
,
,
.
Сокращаем на t .

Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.

Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x .
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 .
,
Умножаем на ± dx и делим на .

При u 2 – 1 ≠ 0 имеем:

Интегрируем:

Интегралы табличные,
.

Применим формулу:
( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 .
Положим a = u , .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.

Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .

Умножаем на x и подставляем ux = y .
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.

Теперь рассмотрим случай, u 2 – 1 = 0 .
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-07-2012 Изменено: 24-02-2015

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Однородные уравнения – это уравнения вида с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример 1.

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида …

Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

На первом месте должна идти первая переменная в степени с некоторым коэффициентом. В нашем случае это

Дальше идет первая переменная в степени и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это . Как мы выяснили, , значит здесь степень при первой переменной – сходится. И вторая переменная в первой степени – на месте. Коэффициент .

Первая переменная в степени , и вторая переменная в квадрате, с коэффициентом . Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные и . Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

– сумма степеней равна .

– сумма степеней равна ( при и при ).

– сумма степеней равна .

Как видишь, все сходится.

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи, какие из уравнений – однородные:

Однородные уравнения – уравнения под номерами:

Рассмотрим отдельно уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения?

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени и дальнейшей заменой переменных.

Пример 2.

Разделим уравнение на .

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна . Например, если нас просят найти , то мы сразу понимаем, что , поскольку на делить нельзя. Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна .

У нас по условию y не может быть равен . Поэтому мы можем смело делить на

Произведя замену , мы получим простое квадратное уравнение:

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

Произведя обратную замену, получаем ответ

Ответ:

Пример 3.

Разделим уравнение на ( по условию).

Произведем замену и решим квадратное уравнение:

Произведя обратную замену, получим ответ:

Ответ:

Пример 4.

Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на :

Произведем замену и решим квадратное уравнение:

Произведя обратную замену, получим ответ:

Ответ:

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример 5.

Мы видим типичное однородное уравнение: и – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна .

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на , рассмотрим случай, когда

В этом случае уравнение примет вид: , значит . Но синус и косинус не могут одновременно быть равны , ведь по основному тригонометрическому тождеству . Поэтому , и на него можно смело делить:

Сделаем замену и решим квадратное уравнение:

Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:

Сделаем обратную замену и найдем и :

Ответ:

Пример 6.

Как и в примере , нужно разделить уравнение на . Рассмотрим случай, когда :

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны , ведь по основному тригонометрическому тождеству . Поэтому .

Сделаем замену и решим квадратное уравнение:

Сделаем обратную замену и найдем и :

Ответ:

Решение однородных показательных уравнений.

Однородные показательные уравнения решаются так же, как рассмотренные выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7.

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней . Разделим уравнение на :

Как можно заметить, произведя замену , мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль – всегда строго больше нуля):

По теореме Виета:

Корень не удовлетворяет условию 0"> . Произведем обратную замену и найдем :

Ответ: .

Пример 8.

Разделим уравнение на :

Произведем замену 0"> и решим квадратное уравнение:

Корень не удовлетворяет условию 0"> . Произведем обратную замену и найдем :

Ответ:

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на , получим:

То есть, теперь нет отдельных и , – теперь переменной в уравнении является искомая величина . И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно , а сумма – это числа и .

называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна . Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

И последующей заменой переменных: . Таким образом получаем уравнение степени с одной неизвестной :

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти , сразу понимаем, что , поскольку на делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Видим здесь типичное однородное уравнение: и – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна .

Но, прежде чем разделить на и получить квадратное уравнение относительно , мы должны рассмотреть случай, когда . В этом случае уравнение примет вид: , значит, . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: . Поэтому , и на него можно смело делить:

Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел «Тригонометрические уравнения». Если же непонятно, откуда взялось , тебе нужно вернуться еще раньше – к разделу «Квадратные уравнения».

1. Найдите , если .
2. Найдите , если .
3. Решите уравнение .

Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:

А здесь надо не делить, а умножать:

Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

Так как здесь нам нужно делить на , убедимся сперва, сто он не равен нулю:

, а это невозможно.

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Однородные уравнения – это уравнения вида с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени и дальнейшей заменой переменных.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.