Уравнение первого порядка неразрешенные относительно производной

Уравнение вида [Fleft( явных дифференциальных уравнений вида [y’ = fleft(
ight),] которые решаются методами, рассмотренными в других разделах .

ight)) по переменной (y.) Получаем: [frac<><> = frac<>left[
ight)>
ight] = frac<<partial f>><<partial y>> + frac<<partial f>><<partial p>>frac<><
>.] Поскольку (<largefrac<
><>
ormalsize> = <largefrac<1>

ormalsize>,) то последнее выражение можно переписать в виде: [frac<1>

= frac<<partial f>><<partial y>> + frac<<partial f>><<partial p>>frac<><>.] Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией [gleft(
ight) = 0,] где (C) − произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений: [left< egin gleft(
ight) = 0\ x = fleft(
ight) end

ight..] Если из этой системы исключить параметр (p,) то общее решение можно выразить в явном виде (x = fleft(
ight).)

Уравнение такого типа не содержит переменную (x) и решается аналогичным образом. Используя параметр (p = y’ = <largefrac<><>
ormalsize>,) можно записать: (dx = largefrac<
>

ormalsize.) Отсюда следует, что [dx = frac<

>

= frac<1>

frac<><>dp.] Интегрируя последнее выражение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме: [left< egin x = int <frac<1>

frac<><>dp> \ y = fleft( p
ight) end
ight..]

Это уравнение относится к типу (x = fleft( <9><4>.] Возьмем дифференциалы обеих частей уравнения: [dx = frac<9> <4>cdot 2pdp = frac<9><2>pdp.] Поскольку (dy = pdx,) то последнее выражение можно представить как [frac<>

= frac<9><2>pdp,;; Rightarrow dy = frac<9><2>dp.] Интегрируя, находим зависимость переменной (y) от параметра (p:) [ <2>dp> = frac<9><2>int <dp> > = <frac<9> <2>cdot frac<<>> <3>+ C > = <frac<3><2> + C,> ] где (C) − произвольная постоянная.

>
ight).] Возьмем дифференциалы от обеих частей: [dy = frac<<2pdp>><<25 + >>.] Поскольку (dy = pdx,) то получаем: [pdx = frac<<2pdp>><<25 + >>,;; Rightarrow dx = frac<<2dp>><<25 + >>.] Теперь можно проинтегрировать последнее выражение и найти (x) как функцию (p.) [ ><<25 + >>> > = <2int <frac<><<25 + >>> > = <2 cdot frac<1><5>arctan frac

Читайте также:  Драйвер для мыши razer abyssus

<5>+ C > = <frac<2><5>arctan frac

<5>+ C.> ] В итоге мы получаем следующее параметрическое представление решения дифференциального уравнения: [left< egin x = frac<2><5>arctan frac

<5>+ C\ y = ln left( <25 + >
ight) end
ight.,] где (C) − произвольная постоянная.

Данное уравнение соответствует частному случаю (2.) Пусть (y’ = p,) так что уравнение можно переписать в виде: [2y = 2 + 4xp + .] Найдем дифференциалы обеих частей уравнения, учитывая, что (dy = pdx.) В результате получаем: [ <2dy = 4xdx + 4pdx + 4xdp + 2pdp,>;; <Rightarrow dy = 2xdx + 2pdx + 2xdp + pdp,>;; <Rightarrow underline = 2xdx + underline <2pdx>+ 2xdp + pdp,>;; <Rightarrow 0 = 2xdx + pdx + 2xdp + pdp,>;; <Rightarrow left( <2x + p>
ight)dx + left( <2x + p>
ight)dp = 0,>;; <Rightarrow left( <2x + p>
ight)left(
ight) = 0.> ] Последнему уравнению удовлетворяют два решения. Первое решение имеет вид: [left. 1
ight);;2x + p = 0.] Следовательно, [ <2x + y’ = 0,;; Rightarrow y’ = – 2x,>;; <Rightarrow dy = – 2xdx.>] Интегрируя это простое уравнение, получаем: [ = – + C,] где (C) − произвольная постоянная. Чтобы определить значение (C,) подставим полученный ответ в исходное дифференциальное уравнение: [ <= – + C,>;; <Rightarrow ^prime = – 2x,>;; <Rightarrow 2left( < – + C>
ight) = 2 + 4x cdot left( < – 2x>
ight) + <left( < – 2x>
ight)^2>,>;; <Rightarrow – 2+ 2C = 2 – 8 + 4,>;; <Rightarrow 2C = 0,>;; <Rightarrow C = 0.>] Видно, что постоянная (C) должна быть равна нулю, чтобы удовлетворить уравнению. Следовательно, первое решение выражается функцией [
= – .] Теперь рассмотрим второе решение, которое определяется дифференциальным уравнением [left. 2
ight);;dx + dp = 0.] Тогда [int
= – int ,;; Rightarrow x = – p + C.] В начале решения мы записали дифференциальное уравнение в форме [2y = 2 + 4xp + .] Подставляем известное выражение для (x) (как функцию параметра (p)), чтобы найти зависимость (y) от (p:) [
equire <2y = 2<left( < – p + C>
ight)^2> + 4left( < – p + C>
ight)p + ,>;; <Rightarrow 2y = 2left( <- 2pC + >
ight) – 4 + 4pC + ,>;; <Rightarrow 2y = 2- cancel <4pC>+ 2 – 3 + cancel<4pC>,>;; <Rightarrow 2y = 2- ,>;; <Rightarrow y = – frac<<>><2>.> ] Таким образом, второе решение описывается в параметрической форме следующей системой уравнений: [left< egin x = – p + C\ y = – frac<<>> <2>end
ight.,] где (C) − произвольная постоянная. Исключая параметр (p,) можно получить решение в явной форме: [

Читайте также:  Широкополосный rtl sdr приемник

;; <Rightarrow y = – frac <<<<left(
ight)>^2>>> <2>> = <- frac <<<<left(
ight)>^2>>><2>.> ] Окончательный ответ выглядит так: [y = – frac <<<<left(

ight)>^2>>><2>,;;y = – .]

Дифференциальные уравнения, которые удается разрешить относительно производной

Сначала нужно проверить, не удастся ли уравнение решить относительно производной. Если уравнение удается разрешить относительно производной, то оно сводится к одному из ранее рассмотренных типов.

Пример

Решим это уравнение относительно производной. Возводим уравнение (1) в квадрат:
.
Или:
;
.
Поскольку , то 1" style="width:57px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -362px -390px;"> .
Извлекаем квадратный корень. Получаем два значения:
(2) .
Из уравнения (1) следует, что 0" style="width:62px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position: -300px -390px;"> .
Поэтому при 1" style="width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position: -452px -0px;"> , 0" style="width:51px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position: -446px -247px;"> . В уравнении (2) выбираем верхний знак “+”.
При , . В уравнении (2) выбираем нижний знак “–”.

Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
(3) .
Поскольку верхний знак “+” относится к 1" style="width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position: -452px -0px;"> , а нижний знак “–” относится к , то
.
Тогда
.

Теперь объясним, как мы вынесли за знак логарифма в (3).
Применим формулу:
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Подставим ; :
;
;
;
.
Логарифмируем, применяя свойства логарифмов:
.
Отсюда
.

Дифференциальные уравнения, допускающие разложение на множители

Также нужно проверить, не удастся ли представить уравнение в виде произведения множителей:
.
Если такое разложение возможно, то последовательно решают уравнения, составленные из сомножителей:
;
;
;
.
.

Виды не разрешенных уравнений, допускающих решение

Далее приведены виды не разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решение.

Уравнения, не содержащие x и y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде независимую и зависимую переменные:
.
См. Уравнения, содержащие только производную.

Уравнения, не содержащие x или y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде либо независимую переменную , либо зависимую переменную :
; или .
См. Уравнения, не содержащие одну из переменных в явном виде.

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

F(x,y,y’)=0

1. Из уравнения F(x,y,y’)=0 выразить y’ через x и y. Получится одно или несколько уравнений вида y’=f(x,y), каждое из которых надо решить.

Читайте также:  Как подключить аутлук к серверу

Пример.

у’ 2 -y 2 =0

y’=y и y’=-y

dy/y=dx и dy/y=-dx

ln|y|=x+lnC и ln|y|=-xlnD

y=Ce x и y=De -x

2. Метод параметра (простейший вариант метода).

Пусть уравнение F(x,y,y’)=0 можно разрешить относительно y.

y=f(x,y’).

Введем параметр p=y’=dy/dx

Тогда y=f(x,p)

Возьмем полный дифференциал от обеих частей, заменив dy через pdx, получим

Если решение этого уравнения найдено в виде x=φ(p), то получим решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример

y=ln(1+y’ 2 )

p=y’=dy/dx, y=ln(1+p 2 )

При делении на р потеряли решение у=0

3. Если уравнение F(x,y,y’)=0 можно разрешить относительно х:

x=f(y,y’), то также как в 2 вводим параметр p=y’=dy/dx

4. Уравнение Лагранжа

y=xφy’+Ψ(y’)

и уравнение Клеро

y=xy’+Ψ(y’)

являются частными случаями, рассмотренными в пункте 2.

5) Немного об особых решениях. Решение y=φ(х) уравнения F(x,y,y’)=0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое ршение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение φ(х), но не совпадающее сним в сколь угодно малой окрестности этой точки. Пусть F(x,y,y’), δF/δy и δF/δy’ непрерывны. Тогда любое особое решение уравнения F(x,y,y’)=0 удовлетворяет и уравнению δF(x,y,y’)/δy’=0.

Чтобы отыскать особые решения, надо из системы

исключить y‘. Полученное уравнение называется дискриминантной кривой. Для каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, является ли эта ветвь решением и если является, то будет ли оно особым (т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке).

Пример.

y=xy’-y 2 – Уравнение Клеро

p=y’=dy/dx, y=xp-p 2

pdx=pdx+xdp-2pdp

(x-2p)dp=0

dp=0, p=c, следовательно

x=2p, y=xp-p 2

y=Cx-C 2 или y=(x 2 /2)-(x 2 /4)

y=x 2 /4-особое решение

y=x 2 /4 решение исходного уравнения. Докажем, что особое.

Берем произвольную точку на решении y=x 2 /4, например (xo,x 2 o/4). найдем С, при котором прямая y=Cx-C 2 также проходила через эту точку x 2 o/4=Cxo-C 2 , следовательно C=xo/2, т.е. y=(xo/2)x-(x 2 o/4).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *