Уравнение кортевега де фриза

Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза, де Фриса, Де Фриса англ. Korteweg–de Vries equation ) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году [1] , но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году [2] .

Уравнение имеет вид:

∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 = 0 <displaystyle <frac <partial u><partial t>>+6u<frac <partial u><partial x>>+<frac <partial ^<3>u><partial x^<3>>>=0>

Содержание

Решения [ править | править код ]

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

u ( x , t ) = 2 κ 2 cosh 2 ⁡ [ κ ( x − 4 κ 2 t − x 0 ) ] <displaystyle u(x,t)=<frac <2kappa ^<2>><cosh ^<2>left[kappa (x-4kappa ^<2>t-x_<0>)
ight]>>>

где κ <displaystyle kappa > — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, x 0 <displaystyle x_<0>> — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:

x − c t − x 0 = ∫ ( 2 E + c u 2 − 2 u 3 ) − 1 2 d u <displaystyle x-ct-x_<0>=int left(2E+cu^<2>-2u^<3>
ight)^<-<frac <1><2>>>du>

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы [ править | править код ]

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество интегралов движения вида

I n = ∫ P n ( u , ∂ u ∂ x , . . . ) d x <displaystyle I_=int P_left(u,<frac <partial u><partial x>>.
ight)dx>

где P n ( u , ∂ u ∂ x ) <displaystyle P_left(u,<frac <partial u><partial x>>
ight)> — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:

P 0 = u <displaystyle P_<0>=u> P 1 = u 2 <displaystyle P_<1>=u^<2>> P 2 = u 3 − 1 2 ( ∂ u ∂ x ) 2 <displaystyle P_<2>=u^<3>-<frac <1><2>>left(<frac <partial u><partial x>>
ight)^<2>> P 3 = 1 2 ( 5 u 2 + 5 u ∂ u ∂ x + ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) 2 ) <displaystyle P_<3>=<frac <1><2>>left(5u^<2>+5u<frac <partial u><partial x>>+left(<frac <partial ^<2>u><partial x^<2>>>
ight)^<2>
ight)>

Читайте также:  Программы для командной строки windows

Можно показать, что уравнение КдФ является интегрируемой гамильтоновой системой.

Обобщения [ править | править код ]

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид

∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 = ν ∂ 2 u ∂ x 2 <displaystyle <frac <partial u><partial t>>+6u<frac <partial u><partial x>>+<frac <partial ^<3>u><partial x^<3>>>=
u <frac <partial ^<2>u><partial x^<2>>>>

где параметр ν <displaystyle
u > характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

∂ ∂ x ( ∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 ) = ± ∂ 2 u ∂ y 2 <displaystyle <frac <partial ><partial x>>left(<frac <partial u><partial t>>+6u<frac <partial u><partial x>>+<frac <partial ^<3>u><partial x^<3>>>
ight)=pm <frac <partial ^<2>u><partial y^<2>>>>

Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза, де Фриса, Де Фриса англ. Korteweg–de Vries equation ) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году [1] , но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году [2] .

Уравнение имеет вид:

∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 = 0 <displaystyle <frac <partial u><partial t>>+6u<frac <partial u><partial x>>+<frac <partial ^<3>u><partial x^<3>>>=0>

Содержание

Решения [ править | править код ]

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

u ( x , t ) = 2 κ 2 cosh 2 ⁡ [ κ ( x − 4 κ 2 t − x 0 ) ] <displaystyle u(x,t)=<frac <2kappa ^<2>><cosh ^<2>left[kappa (x-4kappa ^<2>t-x_<0>)
ight]>>>

где κ <displaystyle kappa > — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, x 0 <displaystyle x_<0>> — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:

x − c t − x 0 = ∫ ( 2 E + c u 2 − 2 u 3 ) − 1 2 d u <displaystyle x-ct-x_<0>=int left(2E+cu^<2>-2u^<3>
ight)^<-<frac <1><2>>>du>

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Читайте также:  Как открыть папку с замком

Интегралы [ править | править код ]

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество интегралов движения вида

I n = ∫ P n ( u , ∂ u ∂ x , . . . ) d x <displaystyle I_=int P_left(u,<frac <partial u><partial x>>.
ight)dx>

где P n ( u , ∂ u ∂ x ) <displaystyle P_left(u,<frac <partial u><partial x>>
ight)> — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:

P 0 = u <displaystyle P_<0>=u> P 1 = u 2 <displaystyle P_<1>=u^<2>> P 2 = u 3 − 1 2 ( ∂ u ∂ x ) 2 <displaystyle P_<2>=u^<3>-<frac <1><2>>left(<frac <partial u><partial x>>
ight)^<2>> P 3 = 1 2 ( 5 u 2 + 5 u ∂ u ∂ x + ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) 2 ) <displaystyle P_<3>=<frac <1><2>>left(5u^<2>+5u<frac <partial u><partial x>>+left(<frac <partial ^<2>u><partial x^<2>>>
ight)^<2>
ight)>

Можно показать, что уравнение КдФ является интегрируемой гамильтоновой системой.

Обобщения [ править | править код ]

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид

∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 = ν ∂ 2 u ∂ x 2 <displaystyle <frac <partial u><partial t>>+6u<frac <partial u><partial x>>+<frac <partial ^<3>u><partial x^<3>>>=
u <frac <partial ^<2>u><partial x^<2>>>>

где параметр ν <displaystyle
u > характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

∂ ∂ x ( ∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 ) = ± ∂ 2 u ∂ y 2 <displaystyle <frac <partial ><partial x>>left(<frac <partial u><partial t>>+6u<frac <partial u><partial x>>+<frac <partial ^<3>u><partial x^<3>>>
ight)=pm <frac <partial ^<2>u><partial y^<2>>>>

нелинейное дифференц. ур-ние

представляющее собой универсальную модель для описания одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией без диссипации, в к-рых закон дисперсии для линейных волн описывается двумя членами разложения по степеням волнового числа k: Предложено Д. Кортевегом (D. Korteweg) и Г. де Фри-сом (G. de Vries) в 1895 в связи с задачей о волнах на поверхности жидкости. К.- де Ф. у. описывает маг-нитозвуковые и ионно-звуковые волны в плазме, акустич. волны в кристаллах, поверхностные и внутр. волны в океане.

Для К. – де Ф. у. найдены точные решения разл. вида, одно из осн.- солитон, или уединённая волна,

амплитуда солитона и положение его центра х 0 произвольные постоянные. Убывающее при нач. возмущение, эволюционируя согласно К.- де Ф. у., распадается на-ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при вычисляется по нач. данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К.- де Ф. у. бесконечные наборы точных решений, простейшим является N -солитонное: , где – определитель матрицы

Читайте также:  Импорт номенклатуры из эксель в 1с

, M i (i=l, 2,. . ., N) – произвольные пост., – единичная матрица. При N -солитонное решение распадается на N свободных солитонов с параметрами . В процессе взаимодействия солитоны испытывают упругие столкновения, приводящие к сдвигу их центров. Полный сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при парных столкновениях.

Простейшим периодич. решением является бегущая кноидальная волна, описываемая эллиптич. косинусом cn (xct), с чем и связано её название:

здесь с, Е– параметры волны. При E-0 кноидальная волна переходит в набор периодически расположенных солитонов.

К.- де Ф. у. допускает также автомодельные решения (см. Автомоделъностъ), к-рые выражаются через решения Пенлеве уравнений. Для построения и преобразования решений К.- де Ф. у. можно использовать Беклунда преобразования.

К.- де Ф. у. имеет бесконечный набор интегралов движения .n = 0, 1, 2, . где Р п – полином от ф-ции u и её производных, в частности Р 0 ; Р 1 2 ; P 2 =u 3 –u 2 x /2; Р 3 =(и 2 xx +5uu x +5u 2 )/2. При помощи функциональной производной К.- де Ф. у. можно записать в виде

откуда следует, что оно является гамилътоновой системой с ф-цией Гамильтона I 2 и скобкой Пуассона

Поскольку =0, можно показать, что К.- де Ф. у.- интегрируемая гамильтонова система, и явно ввести переменные: действие – угол. Гамильтонова структура (1) не является единственной, выбором скобок Пуассона можно сделать ф-цией Гамильтона любой из интегралов I n .

Рассматривают также "высшие К.- де Ф. у. ":

их свойства аналогичны свойствам обычного К.- де Ф. у. В диссипативных средах К.- де Ф. у. переходит в Бюргерса – Кортевега – де Фриса уравнение

к к-рому (в отличие от К.- де Ф. у. и Бюргерса уравнения )точные методы не применимы. Стационарные решения ур-ния (2) описывают структуру ударных волн в средах с дисперсией, в частности бесстолкновителъных ударных волн в плазме. В двумерном случае К.- де Ф. у. переходит в Кадомцева – Петвиашвили уравнение.

Лит.: Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., М., 1977; Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., 1980. В. Е. Захаров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *