Сумма квадратов цифр делится на 11

Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Необходимо найти все трехзначные числа вида для которых Поскольку есть только два варианта: или Кроме того, кратно 4, а, значит, среди либо нет нчетных, либо и нечетные. А значит, — четное. Искомые числа должны выглядеть следующим образом:

Для первого случая имеем следующие числа: 143, 314, 165, 516, 264, 462 и т. д.

Для второго случая имеем следующие числа: 209, 902, 308, 803, 429, 924, 407, 704 и т. д.

Осталось выбрать из них те, сумма квадратов которых не кратна 16, но кратна 4. Таким числами являются 264, 286, 462, 682.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Обозначим цифры числа буквами a, b, c. По условию a+b+c=8, а также a^2+b^2+c^2=11k, где k – некоторое натуральное число.

Из первого условия (a+b+c)^2=64, отсюда a^2+b^2+2ab+2ac+2bc+c^2=64 или a^2+b^2+c^2=64-2(ab+ac+bc)=11k

Получили, что число 64-2(ab+ac+bc) делится на 11, сокращаем его на 2, получаем 32-(ab+ac+bc) делится на 11.

Это возможно в двух случаях: 1. Когда ab+ac+bc=10, т. е. a(b+c)+bc=10, но таких чисел не существует.

2. Когда ab+ac+bc=21, т. е. a(b+c)+bc=21. Подбором находим, что уравнению удовлетворяют цифры a=3; b=2; c=3. Следовательно

искомому числу удовлетворяют числа 323, 332 и 233.

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 8, а сумма квадратов цифр делится на 11. В ответе укажите одно такое число.

Если не учитывать перестановку цифр местами в разрядах трехзначного числа, то троек цифр, сумма которых равна 8, немного:

Читайте также:  Как восстановить приложение скайп

6+1+1 | 5+1+2 | 4+1+3 | 4+2+2 | 3+2+3

Остается проверить суммы квадратов:

6 2 +1 2 +1 2 =38 не делится на 11

5 2 +1 2 +2 2 =30 не делится на 11

4 2 +1 2 +3 2 =26 не делится на 11

3 2 +2 2 +3 2 =22 делится на 11

Таким образом всем условиям удовлетворяют числа 233, 323 и 332

Что такое подготовка к ЕГЭ/ОГЭ в онлайн-школе Тетрика?

👩 Опытные преподаватели
🖥 Современная цифровая платформа
📈 Отслеживание прогресса
И, как следствие, гарантия результата 85+ баллов!
→ Запишись на бесплатное вводное занятие ← по ЛЮБОМУ предмету и оцени свой уровень уже сейчас!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *