Средняя скорость движения электронов формула

Электрический ток в металлах – это упорядоченное движение электронов под действием электрического поля. Опыты показывают, что при протекании тока по металлическому проводнику переноса вещества не происходит, следовательно, ионы металла не принимают участия в переносе электрического заряда.

Наиболее убедительное доказательство электронной природы тока в металлах было получено в опытах с инерцией электронов. Идея таких опытов и первые качественные результаты (1913 г.) принадлежат русским физикам Л. И. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси. В 1916 году американский физик Р. Толмен и шотландский физик Б. Стюарт усовершенствовали методику этих опытов и выполнили количественные измерения, неопровержимо доказавшие, что ток в металлических проводниках обусловлен движением электронов.

Схема опыта Толмена и Стюарта показана на рис. 1.12.1. Катушка с большим числом витков тонкой проволоки приводилась в быстрое вращение вокруг своей оси. Концы катушки с помощью гибких проводов были присоединены к чувствительному баллистическому гальванометру Г . Раскрученная катушка резко тормозилась, и в цепи возникал кратковременных ток, обусловленный инерцией носителей заряда. Полный заряд, протекающий по цепи, измерялся по отбросу стрелки гальванометра.

Рисунок 1.12.1.

При торможении вращающейся катушки на каждый носитель заряда действует тормозящая сила которая играет роль сторонней силы, то есть силы неэлектрического происхождения. Сторонняя сила, отнесенная к единице заряда, по определению является напряженностью поля сторонних сил:

Следовательно, в цепи при торможении катушки возникает электродвижущая сила , равная

где – длина проволоки катушки. За время торможения катушки по цепи протечет заряд , равный

Здесь – мгновенное значение силы тока в катушке, – полное сопротивление цепи, υ – начальная линейная скорость проволоки.

Отсюда удельный заряд свободных носителей тока в металлах равен:

Все величины, входящие в правую часть этого соотношения, можно измерить. На основании результатов опытов Толмена и Стюарта было установлено, что носители свободного заряда в металлах имеют отрицательный знак, а отношение заряда носителя к его массе близко к удельному заряду электрона, полученному из других опытов. Так было установлено, что носителями свободных зарядов в металлах являются электроны.

По современным данным модуль заряда электрона ( элементарный заряд ) равен

а его удельный заряд есть

Хорошая электропроводность металлов объясняется высокой концентрацией свободных электронов, равной по порядку величины числу атомов в единице объема.

Предположение о том, что за электрический ток в металлах ответственны электроны, возникло значительно раньше опытов Толмена и Стюарта. Еще в 1900 году немецкий ученый П. Друде на основании гипотезы о существовании свободных электронов в металлах создал электронную теорию проводимости металлов. Эта теория получила развитие в работах голландского физика Х. Лоренца и носит название классической электронной теории . Согласно этой теории, электроны в металлах ведут себя как электронный газ, во многом похожий на идеальный газ. Электронный газ заполняет пространство между ионами, образующими кристаллическую решетку металла (рис. 1.12.2).

Рисунок 1.12.2.

Из-за взаимодействия с ионами электроны могут покинуть металл, лишь преодолев так называемый потенциальный барьер . Высота этого барьера называется работой выхода . При обычных (комнатных) температурах у электронов не хватает энергии для преодоления потенциального барьера.

Из-за взаимодействия с кристаллической решеткой потенциальная энергия выхода электрона внутри проводника оказывается меньше, чем при удалении электрона из проводника. Электроны в проводнике находятся в своеобразной «потенциальной яме», глубина которой и называется потенциальным барьером.

Как ионы, образующие решетку, так и электроны участвуют в тепловом движении. Ионы совершают тепловые колебания вблизи положений равновесия – узлов кристаллической решетки. Свободные электроны движутся хаотично и при своем движении сталкиваются с ионами решетки. В результате таких столкновений устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. Согласно теории Друде–Лоренца, электроны обладают такой же средней энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного идеального газа. Это позволяет оценить среднюю скорость теплового движения электронов по формулам молекулярно-кинетической теории. При комнатной температуре она оказывается примерно равной 10 5 м/с.

При наложении внешнего электрического поля в металлическом проводнике кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение (дрейф), то есть электрический ток. Среднюю скорость дрейфа можно оценить из следующих соображений. За интервал времени Δ через поперечное сечение проводника пройдут все электроны, находившиеся в объеме

Читайте также:  Nvidia quadro k2200 характеристики

Число таких электронов равно где – средняя концентрация свободных электронов, примерно равная числу атомов в единице объема металлического проводника. Через сечение проводника за время Δ пройдет заряд Отсюда следует:

или

Концентрация атомов в металлах находится в пределах 10 28 –10 29 м –3 .

Оценка по этой формуле для металлического проводника сечением 1 мм 2 , по которому течет ток 10 А, дает для средней скорости упорядоченного движения электронов значение в пределах 0,6–6 мм/c. Таким образом, средняя скорость упорядоченного движения электронов в металлических проводниках на много порядков меньше средней скорости их теплового движения Рис. 1.12.3 дает представление о характере движения свободного электрона в кристаллической решетке.

Рисунок 1.12.3.

Малая скорость дрейфа на противоречит опытному факту, что ток во всей цепи постоянного тока устанавливается практически мгновенно. Замыкание цепи вызывает распространение электрического поля со скоростью . Через время порядка ( – длина цепи) вдоль цепи устанавливается стационарное распределение электрического поля и в ней начинается упорядоченное движение электронов.

В классической электронной теории металлов предполагается, что движение электронов подчиняется законам механики Ньютона. В этой теории пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а их взаимодействие с положительными ионами сводят только к соударениям. Предполагается также, что при каждом соударении электрон передает решетке всю накопленную в электрическом поле энергию и поэтому после соударения он начинает движение с нулевой дрейфовой скоростью.

Несмотря на то, что все эти допущения являются весьма приближенными, классическая электронная теория качественно объясняет законы электрического тока в металлических проводниках.

Закон Ома . В промежутке между соударениями на электрон действует сила, равная по модулю , в результате чего он приобретает ускорение Поэтому к концу свободного пробега дрейфовая скорость электрона равна

где τ – время свободного пробега, которое для упрощения расчетов предполагается одинаковым для всех электронов. Среднее значение скорости дрейфа равно половине максимального значения:

Рассмотрим проводник длины и сечением с концентрацией электронов . Ток в проводнике может быть записан в виде:

где = – напряжение на концах проводника. Полученная формула выражает закон Ома для металлического проводника. Электрическое сопротивление проводника равно:

а удельное сопротивление ρ и удельная проводимость ν выражаются соотношениями:

Закон Джоуля–Ленца. К концу свободного пробега электроны под действием поля приобретают кинетическую энергию

Согласно сделанным предположениям вся эта энергия при соударениях передается решетке и переходит в тепло.

За время Δ каждый электрон испытывает Δ соударений. В проводнике сечением и длины имеется электронов. Отсюда следует, что выделяемое в проводнике за время Δ тепло равно:

Это соотношение выражает закон Джоуля–Ленца.

Таким образом, классическая электронная теория объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля–Ленца. Однако в ряде вопросов классическая электронная теория приводит к выводам, находящимся в противоречии с опытом.

Эта теория не может, например, объяснить, почему молярная теплоемкость металлов, также как и молярная теплоемкость диэлектрических кристаллов, равна 3, где – универсальная газовая постоянная (закон Дюлонга и Пти, см. ч. I, § 3.10). Наличие свободных электронов на сказывается на величине теплоемкости металлов.

Классическая электронная теория не может также объяснить температурную зависимость удельного сопротивления металлов. Теория дает соотношение в то время как из эксперимента получается зависимость ρ

. Однако наиболее ярким примером расхождения теории и опытов является сверхпроводимость .

Согласно классической электронной теории, удельное сопротивление металлов должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь конечным при всех температурах. Такая зависимость действительно наблюдается на опыте при сравнительно высоких температурах. При более низких температурах порядка нескольких кельвинов удельное сопротивление многих металлов перестает зависеть от температуры и достигает некоторого предельного значения. Однако наибольший интерес представляет удивительное явление сверхпроводимости , открытое датским физиком Х. Каммерлинг-Оннесом в 1911 году. При некоторой определенной температуре кр, различной для разных веществ, удельное сопротивление скачком уменьшается до нуля (рис. 1.12.4). Критическая температура у ртути равна 4,1 К, у аллюминия 1,2 К, у олова 3,7 К. Сверхпроводимость наблюдается не только у элементов, но и у многих химических соединений и сплавов. Например, соединение ниобия с оловом (Ni3Sn) имеет критическую температуру 18 К. Некоторые вещества, переходящие при низких температурах в сверхпроводящее состояние, не являются проводниками при обычных температурах. В то же время такие «хорошие» проводники, как медь и серебро, не становятся сверхпроводниками при низких температурах.

Читайте также:  Замена поляризационной пленки на телевизоре
Рисунок 1.12.4.

Вещества в сверхпроводящем состоянии обладают исключительными свойствами. Практически наиболее важным их них является способность длительное время (многие годы) поддерживать без затухания электрический ток, возбужденный в сверхпроводящей цепи.

Классическая электронная теория не способна объяснить явление сверхпроводимости. Объяснение механизма этого явления было дано только через 60 лет после его открытия на основе квантово-механических представлений.

Научный интерес к сверхпроводимости возрастал по мере открытия новых материалов с более высокими критическими температурами. Значительный шаг в этом направлении был сделан в 1986 году, когда было обнаружено, что у одного сложного керамического соединения кр = 35 K. Уже в следующем 1987 году физики сумели создать новую керамику с критической температурой 98 К, превышающей температуру жидкого азота (77 К). Явление перехода веществ в сверхпроводящее состояние при температурах, превышающих температуру кипения жидкого азота, было названо высокотемпературной сверхпроводимостью . В 1988 году было создано керамическое соединение на основе элементов с критической температурой 125 К.

В настоящее время ведутся интенсивные работы по поиску новых веществ с еще более высокими значениями кр. Ученые надеятся получить вещество в сверхпроводящем состоянии при комнатной температуре. Если это произойдет, это будет настоящей революцией в науке, технике и вообще в жизни людей.

Следует отметить, что до настоящего времени механизм высокотемпературной сверхпроводимости керамических материалов до конца не выяснен.

Свободные электроны в металле образуют электронный газ. Рассчитаем скорость беспорядочного движения электронов в газе V, предполагая, что они подчиняются обычным газовым законам. Тогда кинетическая энергия движения электронов равна

(18)

Эта энергия равна энергии теплового движения, которая определяется абсолютной температурой газа T

(19)

где k– постоянная Больцмана.

Приравнивая (17) и (18) находим

(20)

Подставив значения для комнатной температуры t= 20 o C и справочные данныеk= 1,38*10 -23 Дж/К ,me= 9*10 -31 кг получим

Полученную скорость называют тепловой скоростью электронов Vтепл.

Задачи для самостоятельного решения

Рассчитать скорость теплового движения электронов в проводнике электронагревательной спирали из нихрома при температуре 600 о С по модели электронного газа.

Постоянная Больцмана 1,38*10 –23 Дж/К.

Масса электрона 9,1*10 –31 кг.

Молярная масса никеля 59 г/моль.

Рассчитать скорость теплового движения электронов в медном проводнике, охлажденом до температуры жидкого азота –195 о С.

Постоянная Больцмана 1,38*10 –23 Дж/К.

Масса электрона 9,1*10 –31 кг.

Молярная масса меди 64 г/моль.

Расчет электрической проводимости металлов

Запишем закон Ома

(21)

Подставим в него выражение для сопротивления проводника

(22)

где l– длина проводника,S– его сечение ,– удельное сопротивление материала.



(24)

Учтя , что I / S = jесть плотность тока,U / l = Eнапряженность электрического поля,1/ = удельная проводимость, получим закон Ома в локальной формулировке

(25)

Удельная проводимостьявляется свойством материала, которое, в свою очередь, зависит от характеристик движения электронов в металле. Найдем эти соотношения.

(26)

из (25) и (26) получим

(27)

(28)

Величина называется подвижностью носителей заряда.

(29)

Для расчета дрейфовой скорости электронов vдрвоспользуемся моделью свободного движения электронов в промежутках между столкновениями с ионами кристаллической решетки. Среднее время свободного движения называется временем релаксациирел, расстояниепреодолеваемое электроном за это время – длиной свободного пробега. Они связаны соотношением

(30)

За время движения между столкновениями, за счет действия силы со стороны электрического поля, электрон приобретает импульс p

(31)

с другой стороны этот импульс пропорционален приобретенной дрейфовой скорости

(32)

Приравнивая его к (31) находим

(33)

Подставим полученное выражение в (27) , получим

(34)

(35)

В данную формулу входит неизвестная величина длины свободного пробега . В качестве приблизительной оценки выберем ее равной десяти периодам кристаллической решетки металла.

Тогда подставив другие известные величины, получим, например, для меди величину удельной электрической проводимости

или для удельного электрического сопротивления

Сравнивая полученную величину с табличным значением , видим хорошее согласие с экспериментальными данными.

Задачи для самостоятельного решения

Как изменяется длина свободного пробега электронов в металлическом проводнике при его нагревании?

Во сколько раз изменится длина свободного пробега электронов при нагревании серебряного проводника от 300 до 1000 К?

Читайте также:  Пособие для чайников по компьютеру

Удельное электрическое сопротивление серебра при комнатной температуре равно 0,015 Ом*м, температурный коэффициент сопротивления составляет 4,1*10 –3 К –1 .

Почему удельное электрическое сопротивление ферромагнитных металлов существенно выше неферромагнитных?

Рассчитать электропроводность медного проводника, приняв длину свободного пробега электронов в металле равной 5 нм.

Справочные данные для меди

Плотность 8,94 г/cм 3 . Молярная масса 64 г/моль

Число Авогадро 6,02*10 23 моль –1 . Заряд электрона 1,6*10 –19 Кл.

Рассчитать электропроводность проводника из никеля, приняв длину свободного пробега электронов в металле равной 2 нм.

Справочные данные для никеля:

Плотность 8,9 г/cм 3 . Молярная масса 59 г/моль

Число Авогадро 6,02*10 23 моль –1 . Заряд электрона 1,6*10 –19 Кл.

Свободные электроны в металле образуют электронный газ. Рассчитаем скорость беспорядочного движения электронов в газе V, предполагая, что они подчиняются обычным газовым законам. Тогда кинетическая энергия движения электронов равна

(18)

Эта энергия равна энергии теплового движения, которая определяется абсолютной температурой газа T

(19)

где k– постоянная Больцмана.

Приравнивая (17) и (18) находим

(20)

Подставив значения для комнатной температуры t= 20 o C и справочные данныеk= 1,38*10 -23 Дж/К ,me= 9*10 -31 кг получим

Полученную скорость называют тепловой скоростью электронов Vтепл.

Задачи для самостоятельного решения

Рассчитать скорость теплового движения электронов в проводнике электронагревательной спирали из нихрома при температуре 600 о С по модели электронного газа.

Постоянная Больцмана 1,38*10 –23 Дж/К.

Масса электрона 9,1*10 –31 кг.

Молярная масса никеля 59 г/моль.

Рассчитать скорость теплового движения электронов в медном проводнике, охлажденом до температуры жидкого азота –195 о С.

Постоянная Больцмана 1,38*10 –23 Дж/К.

Масса электрона 9,1*10 –31 кг.

Молярная масса меди 64 г/моль.

Расчет электрической проводимости металлов

Запишем закон Ома

(21)

Подставим в него выражение для сопротивления проводника

(22)

где l– длина проводника,S– его сечение ,– удельное сопротивление материала.



(24)

Учтя , что I / S = jесть плотность тока,U / l = Eнапряженность электрического поля,1/ = удельная проводимость, получим закон Ома в локальной формулировке

(25)

Удельная проводимостьявляется свойством материала, которое, в свою очередь, зависит от характеристик движения электронов в металле. Найдем эти соотношения.

(26)

из (25) и (26) получим

(27)

(28)

Величина называется подвижностью носителей заряда.

(29)

Для расчета дрейфовой скорости электронов vдрвоспользуемся моделью свободного движения электронов в промежутках между столкновениями с ионами кристаллической решетки. Среднее время свободного движения называется временем релаксациирел, расстояниепреодолеваемое электроном за это время – длиной свободного пробега. Они связаны соотношением

(30)

За время движения между столкновениями, за счет действия силы со стороны электрического поля, электрон приобретает импульс p

(31)

с другой стороны этот импульс пропорционален приобретенной дрейфовой скорости

(32)

Приравнивая его к (31) находим

(33)

Подставим полученное выражение в (27) , получим

(34)

(35)

В данную формулу входит неизвестная величина длины свободного пробега . В качестве приблизительной оценки выберем ее равной десяти периодам кристаллической решетки металла.

Тогда подставив другие известные величины, получим, например, для меди величину удельной электрической проводимости

или для удельного электрического сопротивления

Сравнивая полученную величину с табличным значением , видим хорошее согласие с экспериментальными данными.

Задачи для самостоятельного решения

Как изменяется длина свободного пробега электронов в металлическом проводнике при его нагревании?

Во сколько раз изменится длина свободного пробега электронов при нагревании серебряного проводника от 300 до 1000 К?

Удельное электрическое сопротивление серебра при комнатной температуре равно 0,015 Ом*м, температурный коэффициент сопротивления составляет 4,1*10 –3 К –1 .

Почему удельное электрическое сопротивление ферромагнитных металлов существенно выше неферромагнитных?

Рассчитать электропроводность медного проводника, приняв длину свободного пробега электронов в металле равной 5 нм.

Справочные данные для меди

Плотность 8,94 г/cм 3 . Молярная масса 64 г/моль

Число Авогадро 6,02*10 23 моль –1 . Заряд электрона 1,6*10 –19 Кл.

Рассчитать электропроводность проводника из никеля, приняв длину свободного пробега электронов в металле равной 2 нм.

Справочные данные для никеля:

Плотность 8,9 г/cм 3 . Молярная масса 59 г/моль

Число Авогадро 6,02*10 23 моль –1 . Заряд электрона 1,6*10 –19 Кл.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *